R^n

par **Archytas** » 08 Mar 2013, 21:40

Salut, en cours on a vu qu'il n'existait pas de base de

.
Sachant que

la famille représentant l'ensemble des suites de

est génératrice de

. On peut nécessairement réduire l'ensemble pour en trouver une famille libre (éventuellement infinie aussi). J'imagine qu'en pratique c'est impossible mais en théorie ça n'est pas possible ?
:help:

par **Doraki** » 08 Mar 2013, 21:56

L'axiome du choix a pour conséquence que tous les espaces vectoriels ont une base.
Avec cet axiome on peut donc montrer que R^N a une base (de même cardinal que R, je crois).
Mais sans cet axiome tu ne peux probablement pas en trouver (on peut ptetre montrer que si ZF est consistant alors ZF + l'axiome "il n'y a pas de base de R^N" est consistant)

par **Archytas** » 08 Mar 2013, 22:54

Doraki a écrit:L'axiome du choix a pour conséquence que tous les espaces vectoriels ont une base.
Avec cet axiome on peut donc montrer que R^N a une base (de même cardinal que R, je crois).
Mais sans cet axiome tu ne peux probablement pas en trouver (on peut ptetre montrer que si ZF est consistant alors ZF + l'axiome "il n'y a pas de base de R^N" est consistant)

ZF ? Consistant ?
Finalement R^N a une base ou non ?

par **Doraki** » 08 Mar 2013, 22:58

Si tu fais des maths dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix, alors oui.
Si tu fais des maths dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix, alors il est possible qu'il n'y en ait pas.

par **Archytas** » 08 Mar 2013, 23:04

Doraki a écrit:Si tu fais des maths dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix, alors oui.
Si tu fais des maths dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix, alors il est possible qu'il n'y en ait pas.

D'acc donc tout est une question de point de vue ?
Si je met que tout est une question de point de vue dans ma copie de DM je vais me faire allumer... Et si je mentionne l'axiome du choix je vais me faire allumer aussi. Haha ok, merci je vais voir comment présenter la chose.

PS: Y a-t-il un théorème qui disent que si une application linéaire va de E vers F avec F et Kerf de dimension finie alors E est de dimension finie, je l'ai démontré dans le cadre de l'exercice mais il me semble que la démonstration peut facilement se généraliser, en as-tu déjà entendu parlé (ou alors c'est complétement évident et j'ai pas vu le "truc") ?

par **Doraki** » 08 Mar 2013, 23:13

Ben oui ça s'appelle le théorème du rang.

Pour être plus clair, suppose que dim F = n et dim Ker f = m, et suppose que E contienne une famille libre de n+m+1 vecteurs, donc contient un sous-ev E' de dimension n+m+1. Regarde f|E', qui va de E' dans F. tout le monde est de dimension finie, tu appliques le théorème du rang et tu montres que dim E' <= n+m. Contradiction.

par **Archytas** » 08 Mar 2013, 23:18

Doraki a écrit:Ben oui ça s'appelle le théorème du rang.

Pour être plus clair, suppose que dim F = n et dim Ker f = m, et suppose que E contienne une famille libre de n+m+1 vecteurs, donc contient un sous-ev E' de dimension n+m+1. Regarde f|E', qui va de E' dans F. tout le monde est de dimension finie, tu appliques le théorème du rang et tu montres que dim E' <= n+m. Contradiction.

Très jolie méthode :++: ! J'ai fais une demie page de raisonnement pour rien :cry:

...

Merci pour tes réponses Doraki, bonne soirée !

R^n

R^n

Qui est en ligne