E^x + x = n (????)

[Florix]

Oula oula je suis très inquiet pour moi !

Première question d'un exercice de maths :

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = e^x + x

1. Justifier que l'équation f(x) = n admet une et une seule solution que l'on désignera par le terme Un.

2. En déduire la nature de la suite Un

Euh...... une et une seule solution ? Pour x ? Pour n ? J'y comprends strictement rien ! :help:

J'en ai marre d'être complétement nul en maths :mur: !

:--:

Merci d'avance pour vos réponses

[Mike_51]

f'(x)=e^x+1>0 donc f est strictement croissante sur R.
Elle réalise donc une bijection de R dans R ( lim en -inf =-inf
lim en +inf=+inf ).
Donc quelque soit n, il existe un unique réel Un tel que f(Un)=n.

[Florix]

D'accord mais du coup quel est le terme de la suite ??

Parce qu'en fait toutes les questions après reposent sur la suite Un . Il me faudrait l'expression Un = .........

Mais déja merci pour cet eclairsissement ça m'avance un peu ! :++:

[Quidam]

Il me faudrait l'expression Un = .........

Je crains que ce ne soit pas à ta portée, ni à la mienne ! En fait je crains fort que l'on ne puisse trouver une expression de Un avec les fonctions usuelles... Mais je peux me tromper !

Si je ne me trompe pas donc, il faudra te passer d'une expression explicite de Un pour les questions suivantes...Mais on peut quand même parfois raisonner sur une suite sans pour cela avoir une expression explicite !

[Mike_51]

f(Un+1)=n+1>n=f(Un).
Or f est croissante donc f(Un+1)>f(Un) => Un+1>Un
Donc (Un) est croissante, donc elle admet une limite L dans ]-oo,+oo].
Or e^Un+Un=n.
Par passage a la limite quand n->+oo: e^L+L=+oo => L=+oo.

[Anonyme]

f bijective de R sur R donc il existe f-1 reciproque de R sur R avec un =f-1(n)

utilise les informations sur f-1

[Florix]

Merci à vous pour ces infos ça m'a enormement aidé !

Seulement voilà je bloque encore à la question "Demontrer que les suites Un et ln n sont équivalentes"

Il faut donc démontrer que la limite en +oo de Un / ln n = 1

Unique problème : Un tend vers +oo et ln n aussi donc forme indeterminée. Mais on a aucune info sur Un en dehors de f(Un) = n avec f(x) = e^x + x

Comment faire ?

Merci de vos réponses

[abcd22]

On a la relation , donc en passant au log , on divise par u_n et comme u_n tend vers l'infini on trouve bien 1 comme limite de ln(n)/u_n.

C'est un résultat assez intuitif en fait, comme u_n tend vers l'infini, pour n grand (mais il vaut mieux rédiger comme j'ai dit au-dessus plutôt que composer des équivalences sans justifier).