C(x)

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Quelle est la clôture algébrique de ( corps de fractions de ) ?

Merci d'avance.

[Luc]

Bonjour à tous, :happy3:

Quelle est la clôture algébrique de ( corps de fractions de ) ?

Merci d'avance.

Bonjour,

c'est une question non triviale. Regarde la notion de série de Puiseux.

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Puiseux

Si tu lis l'anglais, je t'invite à lire les liens suivants:
http://math.stackexchange.com/questions/59826/how-to-describe-algebraic-closure-of-mathbbcx
http://en.wikipedia.org/wiki/Puiseux_series

Une réponse extraite du premier lien, traduite sommairement :

Il est possible de décrire les éléments de la clôture algébrique de C(X). Ils sont appelés séries de Puiseux et sont constituées (en gros) de séries de la forme avec avec des conditions supplémentaires sur les exposants possibles.

[barbu23]

Merci beaucoup. :happy3:
J'avais l'intention de voir si c'est possible de donner des factorisations à certains polynômes dans , mais, il semble que, ce n'est pas toujours accessible ce genre de choses.
Par exemple : . Est ce qu'il existe , tel que : . C'est pourquoi, j'évoquais la question de clôture algébrique de .
Merci d'avance. :happy3:

[Doraki]

Attention les séries de Puiseux c'est la clôture algébrique du corps de fractions de C[[X]], pas de C(X).
Il y a des trucs en plus.

[Luc]

Attention les séries de Puiseux c'est la clôture algébrique du corps de fractions de C[[X]], pas de C(X).
Il y a des trucs en plus.

Effectivement, il manque une précision essentielle :
la clôture algébrique de C(X) sont les séries de Puiseux algébriques sur C(X).

Il existe des séries de Puiseux non algébriques sur C(X), comme .

[barbu23]

Merci beaucoup. Y'a - t- il une différence entre une série formelle et une série entière ?
Merci d'avance. :happy3:

[Luc]

Merci beaucoup. Y'a - t- il une différence entre une série formelle et une série entière ?
Merci d'avance. :happy3:

Oui, il y a une différence. Une série entière est une série de fonctions. Une série formelle n'est pas une fonction, elle ne prend pas de valeurs. En gros, c'est une série entière "en une indéterminée" mais ce n'est pas la définition rigoureuse.

C'est un peu la même différence qu'entre un polynôme et une fonction polynomiale.

[barbu23]

C'est un peu la même différence qu'entre un polynôme et une fonction polynomiale.

Quelle est la différence entre un polynôme et une fonction polynomiale ? :mur:

[Luc]

Quelle est la différence entre un polynôme et une fonction polynomiale ? :mur:

Un polynôme c'est formel, c'est une suite de coefficients.
Une fonction polynomiale, c'est une fonction qui prends des valeurs.

Il y a un morphisme de substitution de l'anneau des polynômes dans celui des fonctions polynomiales, mais on ne peut pas identifier un polynôme à une fonction polynomiale.

[barbu23]

Merci beaucoup @Luc. :lol3:
Moi, je ne me souviens pas de ce que, une fois, @Nightmare, m'a parlé de cette différence entre polynôme et fonction polynomiale. Et il m'a parlé que cette différence se voit très clairement quant il sont défini sur un corps fini . Mais, je ne me souviens pas de ce qu'il m'a dit exactement. :hum:

[Luc]

Merci beaucoup @Luc. :lol3:
Moi, je ne me souviens pas de ce que, une fois, @Nightmare, m'a parlé de cette différence entre polynôme et fonction polynomiale. Et il m'a parlé que cette différence se voit très clairement quant il sont défini sur un corps fini . Mais, je ne me souviens pas de ce qu'il m'a dit exactement. :hum:

Sur un corps fini, c'est intéressant, on voit clairement la différence.
En effet, considérons le polynôme .

Ce polynôme n'est clairement pas le polynôme nul.
Pourtant, la fonction polynomiale f définie de dans par est la fonction nulle.

[barbu23]

Sur un corps fini, c'est intéressant, on voit clairement la différence.
En effet, considérons le polynôme .

Ce polynôme n'est clairement pas le polynôme nul.
Pourtant, la fonction polynomiale f définie de dans par est la fonction nulle.

Voilà ! merci beaucoup. :happy3: