A^3 = A +In

[newman]

Petit oral de Centrale pour se divertir en ce jour de férié .

Supposons qu'une matrice A vérifie l'égalité A^3 = A +In avec In la martice identité de rang n

Montrer que Det(A) > 0

Bonne Chance (ce n'est pas dur et très abordable même pour les élèves de 1ere année)

[leon1789]

Si A est à coefficients complexes, le résultat est faux.

[leon1789]

Si A est à coefficients complexes, le résultat est faux.

[vincentroumezy]

Je suppose que A est carrée ?

[Dinozzo13]

A est forcément carré sinon écrire et n'auraientt pas de sens

[Dinozzo13]

On pourrait avoir une piste ?
Parce qu'à moins d'y aller comme un bourrin, je ne vois pas :mur:

[Le_chat]

Salut.
X^3-X-1 annule A, ce polynome est scindé sur C donc A est diagonalisable sur C. Son déterminant est le produit de ses valeurs propres.
On note "a" la seule racine réelle du polynôme, z et z' ses racines complexes (conjuguées).

A étant réelle (sinon c'est faux), en passant à la trace, si z est valeur propre, alors elle est d'ordre 1 et z' aussi, sinon la seule valeur propre est a.

On a donc deux cas:

Soit A est semblable à Diag(a,a,a), soit A est semblable à Diag(a,z,z'), et comme a est positif, det(Diag(a,a,a))>0, et det(Diag(a,z,z'))=a*z*z'=1 (produit des racines d'un polynôme)

Et donc ça marche. Après doit y avoir de le faire astucieusement en sup,mais c'est tellement systématique en utilisant les outils de spé...

[Dinozzo13]

(ce n'est pas dur et très abordable même pour les élèves de 1ere année)

:hum: je pense pas qu'on voit les valeurs propres en 1re année.

[leon1789]

le_chat, tu as supposé que la matrice A est dimension 3. En fait, elle est de dimension n.

Mais tu as raison, la diagonalisation de A montre que
où a est la racine réelle (comprise entre 1 et 2) et z,z' les racines complexes ( avec zz' = |z|^2 > 0)
de .

[Le_chat]

Oui pardon. Mais ça marche de la même façon, les racines complexes vont par paires , et il reste des a, donc tout ce beau monde fait un truc positif.

[newman]

Desolé je n'ai pas pu répondre plus tôt dans la journée.

Oui pardon j'aurais du préciser que A était réelle carrée de taille n x n ^^

Sinon la réponse apportée est exacte bien joué

Oui je pense qu'on peut y parvenir seulement avec les outils de sup, mais en triturant l'égalité pendant assez longtemps je n'ai pas réussi...

[newman]

D'ailleurs cette racine réelle entre 1 et 2 est irrationnelle non?

[leon1789]

D'ailleurs cette racine réelle entre 1 et 2 est irrationnelle non?

effectivement, elle n'est pas rationnelle.

[alm]

Salut
Le polynôme caractéristique de est de la forme : où est l'unique valeur propre réelle et les pour variant de à les valeurs propres complexes non réelles deux à deux distinctes
est la multiplicité de , tandis que est la multiplicité commune de et .
Tout cela est valable si ,
sinon, dans le cas où la matrice serait égale à
Pour le cas on a :
tandis que si on a et
Dans tous les cas on a et si on a

[newman]

en fait je ne suis pas sûr de bien comprendre pourquoi a est la seule racine réelle du polynôme caractéristique..Pourriez-vous me l'expliquer en détail?

[alm]

en fait je ne suis pas sûr de bien comprendre pourquoi a est la seule racine réelle du polynôme caractéristique..Pourriez-vous me l'expliquer en détail?

Salut


Parce que c'est la seule racine réelle éventuelle du polynôme minimal.


Edit: j'ai ajouté éventuelle car en effet il se peut que la matrice n'aie aucune valeur propre réelle
Dans ma discussion ci-dessus il faut préciser la possibilité d'avoir , chose qui ne peut arriver que si est pair

[newman]

Le polynôme minimal de A divise le polynôme caractéristique de A (qui est de degré n) d'après le théorème de Cayley Hamilton.

Ainsi le polynôme caractéristique de A s'écrit Q(X) * (X^3 -X -1) avec Q un polynome inconnu

Pourquoi Q ne peut pas avoir une autre racine réelle que a ?

[alm]

Le polynôme minimal de A divise le polynôme caractéristique de A (qui est de degré n) d'après le théorème de Cayley Hamilton.

Ainsi le polynôme caractéristique de A s'écrit Q(X) * (X^3 -X -1) avec Q un polynome inconnu

Pourquoi Q ne peut pas avoir une autre racine réelle que a ?

Bonne question!
Sa réponse est un théorème: Toute valeur propre de A est une racine du polynôme minimal.


Preuve:
Soit une telle vp alors pour un vecteur non nul
Du coup on a paour tout polynôme
En particulier si est le polynôme minimal d'où le resultat.

[newman]

Bonne question!
Sa réponse est un théorème: Toute valeur propre de A est une racine du polynôme minimal.


Preuve:
Soit une telle vp alors pour un vecteur non nul
Du coup on a paour tout polynôme
En particulier si est le polynôme minimal d'où le resultat.

ha je savais qu'il y avait quelque chose que je ne comprenais pas^^.....Cette propriété est-elle équivalente au fait que l'ensemble des polynômes annulateurs de A est un idéal principal de K[X],engendré par le polynôme minimal ....Sinon est-ce une propriété vue en Maths Spé?^^

[Doraki]

Ben pas vraiment, la preuve dit que si ;) est une racine du polynome caractéristique de A, x un vecteur propre associé, et que P est un polynôme annulateur de A alors 0 = 0(x) = P(A)(x) = P(;)).x, donc P(;)) = 0.
Donc tout polynôme annulateur de A contient au moins tous les facteurs distincts du polynôme caractéristique.
On s'en fiche de savoir qu'il y a un plus petit polynôme annulateur.