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par **foufa** » 03 Déc 2011, 18:52

Bonsoir,

Le faite qu'une fonction f: IR---> IR est borné ça montre que f appartient a l'espace L;) ?

merci d'avance.

par **girdav** » 04 Déc 2011, 13:43

est un ensemble de classes d'équivalence pour l'égalité presque partout (on confond deux fonctions égales presque partout, mais souvent on note de la même manière la classe et un représentant). Donc en fait la classe de

est bien une fonction de

.

par **cuati** » 04 Déc 2011, 19:24

Bonsoir,
J'ajouterai que cela dépend aussi des tribus dans les espaces de départ et d'arrivé...en fonction de ceux-ci, la fonction

peut être ou ne pas être mesurable et donc elle peut ne pas appartenir à

.
Traditionnellement, quand on ne précise pas les tribus et que c'est sur R, c'est la tribu borélienne.

par **foufa** » 04 Déc 2011, 19:44

@ Girdav Merci de votre réponse :)
@Cuati Merci pour l'information mais Pouvez vous me donner un exemple d'une fonction définie de IR dans IR qui n'est pas mesurable

par **cuati** » 05 Déc 2011, 12:37

Bonjour,
il n'y a pas d'exemples simples en ce qui concerne les fonctions boréliennes...
mais le plus connu est celui-ci :
on se donne la relation d'équivalence

sur

définie par :

. Si on pose

un système de représentants de chaque classe par cette relation d'équivalence (possible par l'axiome du choix) alors

n'est pas un borélien ! Et donc

n'est pas une fonction borélienne (et elle est pourtant bien bornée !).
Dans la pratique, on ne rencontre pas souvent ce genre de fonction... la plupart du temps ce sont des fonctions continues ou continues par morceaux et là il n'y a pas de problème...

par **foufa** » 06 Déc 2011, 22:50

cuati a écrit:Bonjour,
il n'y a pas d'exemples simples en ce qui concerne les fonctions boréliennes...
mais le plus connu est celui-ci :
on se donne la relation d'équivalence sur définie par :
. Si on pose un système de représentants de chaque classe par cette relation d'équivalence (possible par l'axiome du choix) alors n'est pas un borélien ! Et donc n'est pas une fonction borélienne (et elle est pourtant bien bornée !).
Dans la pratique, on ne rencontre pas souvent ce genre de fonction... la plupart du temps ce sont des fonctions continues ou continues par morceaux et là il n'y a pas de problème...

Merci beaucoup cuati c'est très intéressant comme exemple

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