Dl

[sad13]

Bonsoir, j'ai trouvé ce Dl et il m'intrigue :

ln(1+ x/n)= x/n + o(1/n²)

car le dl en 0 de ln(1+x)= x+o(x) et là l'ordre 2 : x- x²/2 + o(x²)

merci

[GagaMaths]

qu'est-ce qui te dérange ?

[Skullkid]

Tu es sûr que tu n'as pas plutôt vu ln(1+ x/n) = x/n + O(1/n²) ?

[sad13]

o(1/n²) merci

[GagaMaths]

il y a une théorie sur les o et les O, mais à priori certains profs utilisent l'un ou l'autre sans distinction... !

[Skullkid]

ln(1 + x/n) = x/n + o(1/n²) c'est faux. Mais ln(1 + x/n) = x/n + O(1/n²) c'est vrai, et ça donne plus d'informations que ln(1 + x/n) = x/n + o(1/n). (x est évidemment un réel fixé au préalable)

[sad13]

oui mais le plus naturel serait d'écrire o(1/n), non au lieu de o(1/n²)?

[GagaMaths]

personnellement j'ai des profs qui utilisent les 2 notations sans se demander quoi que ce soit ; mais je suis d'accord, en théorie c'est comme ça

[Cryptocatron-11]

oui mais le plus naturel serait d'érire 0o(1/n), non au lieu de o(1/n²)?

Bah tout dépend si tu vas à l'ordre 2 ou à l'ordre 1 non ? si t'écris o(1/n) bah tu es surment moins précis que si tu écrivais o(1/n²). Sauf si la dérivée seconde est nulle mais bon ça arrive pas souvent

[sad13]

merci skullid, comment le montrer?

ln(1 + x/n) = x/n + O(1/n²)

On exhibe un réel M tel que | ln(1+ x/n) - x/n| <=M*(1/n²)

[Skullkid]

Y a pas de trucs plus naturels que d'autres, et 0o(1/n) ça veut rien dire, ou alors c'est un smiley qui m'est inconnu. Les notations o() et O() sont bien définies, elles ont un sens précis.

Un développement limité d'ordre n en a c'est une égalité f(x) = P(x-a) + o((x-a)^n) où P est un polynôme de degré inférieur à n. Si on écrit f(x) = P(x-a) + O((x-a)^(n+1)) (et que l'égalité est vraie, bien sûr) ce n'est pas à proprement parler un développement limité, c'est une égalité qui donne plus d'informations que le DLn et moins d'informations que le DL(n+1).