Z[w]

[Mulan]

Bonjour, je bloque sur cet exo à partir de la question 3

z dans C, on note N(z) = |z|² = z zbarre. On a N(zz') = N(z)N(z') pour tout z,z' dans C.

Soit d dans N*, w = i racine de d dans C.

Soit A le sous anneau de C engendré par w : A = Z[w]= { a+bw, a et b dans C }

1) Vérifier que N(z) est dans N.

2)Soit z dans A. Montrer que z est inversible dans A si et seulement si N(z)= 1.

3) Pour A = Z[i] , montrer que les inverse de A sont {1,-1,-i,i } et que les éléments associés à z=a+ib sont de la forme +-a +-ib . Dresser la liste des éléments z de norme N(z) = 0,1,2,...,10?

4) Soient z, z' dans A. Montrer que si z' divise z, N(z') divise N(z) dans Z.

5) Si A = Z[i], est ce que 2 est irréductible ? Et 3 ?

6) Montrer que si N(z) est premier alors z est irréductible.

Merci

[Doraki]

Pourquoi tu bloques ?

En utilisant la question 2, les inversibles de Z[i] sont ses éléments de norme 1 ou -1.
Que vaut la norme d'un élément (a+ib) de Z[i] ?

[Mulan]

Ah oui on obtient directement que les inverse de A sont {1,-1,-i,i }

4) Par contre la 4 j'ai essayé des division euclidienne mais non.

[Doraki]

Tu cherches trop compliqué il suffit juste d'écrire ce que "divise dans Z[i]" et "divise dans Z" veut dire :/