P(x²)=(p(x))²

par **Anonyme** » 11 Fév 2006, 23:29

Bonsoir

Je dois trouver les polynomes verifiant cette relation. alors je m'y prends comme pour les equations fonctionnelles:
J'aboutis à : P(0)=0 ou 1 de meme pour P(1) et P(-X)²=P(X)².
Mais, c'est insuffisant

par **nuage** » 11 Fév 2006, 23:46

Salut,
Si tu essayes pour un polynome de degré 1, tu peux facilement montrer que l'on a

.
Il doit être possible de généraliser : si P est de degré n alors

par **Anonyme** » 12 Fév 2006, 13:48

C'est bien ca, ou presque: la solution dit que les solutions sont 0,1 et X^n (mais 1 n'est-ce pas X^0??).
Seulement, aurais-tu une idée de la preuve? i.e Comment prouver que ce sont les seuls qui conviennent?

Merci

par **hans** » 12 Fév 2006, 18:19

Si x est racine , x^2 est racine. Comme le nombre de racines est fini il faut
|x|=0 ou 1. Mais si

est racine alors

l'est aussi donc toujours par finitude, theta=0.
Les seules racines possibles sont 0 ou 1.
P est de la forme

Je te laisse finir.

par **nuage** » 12 Fév 2006, 18:26

Pour le premier degré

avec

donc

et

En idendifiant ces résultats il vient :

Comme

Pour le degré n on peut proceder de la même façon en remarquant que tout les termes de degré impairs dans le développement du carré sont nuls.

[edit]
La solutions de Hans semble meilleure. Je ne l'avais pas vu avant de répondre.

par **Anonyme** » 12 Fév 2006, 19:48

hans a écrit:Si x est racine , x^2 est racine. Comme le nombre de racines est fini il faut
|x|=0 ou 1.

?? Si x racine, x^2 aussi, x^4 aussi, ... x^2^n aussi.
mais comme x n'est pas infini, il faut |x|<1.
J'ai pas saisi ce point de ton raisonnement

par **hans** » 12 Fév 2006, 20:28

|x|<1 mais non nul te donne aussi une infinité de termes dans la suite x^2^n.

par **redwolf** » 12 Fév 2006, 22:11

Bonsoir.

On peut utiliser le raisonnement de Nuage dans le cas général :

Supponsons que

.
Si

a plus de deux termes, on pose

où

et

sont les termes non nuls de plus petit degré de

. On s'intéresse alors au coefficient du terme de degré

dans

et dans

.

Dans le premier cas, c'est 0, car il n'y a aucun terme de degré strictement compris entre

et

.
Dans le deuxième cas, c'est

(puisque les termes de degré supérieur à

n'interviennent pas dans ce coefficient).
C'est une contradiction car on a supposé que ni

ni

n'étaient nuls.

par **Anonyme** » 16 Fév 2006, 00:56

hans a écrit:P est de la forme
Je te laisse finir.

Je remplace P par

dans P(X²)=P(X)² mais ca me tire pas d'affaire.
Faut-il proceder autrement??

par **hans** » 16 Fév 2006, 09:33

En fait si 1 est racine, -1 est aussi racine, puis i puis

donc tu peux éliminer le (x-1)^q...

P(x²)=(p(x))²

P(x²)=(p(x))²

Qui est en ligne