Dx/dt

[Pafapafadidel]

Bonjour!

dx/dt=f(x) equivaut a dt/dx=1/f(x)

Voila la phrase qui me pose probleme, et que j'ai deja expose dans le cafe mathematique (voir le post du meme nom pour plus de details). On m'a conseille d'aller voir du cote des formes differentielles, mais l'auteur utilise justement cette expression pour introduire la theorie les formes differentielles, et ne la suppose donc pas prerequise (j'ai d'ailleurs cherche sur internet mais aucune mention precise a cette disgression). Quelqu'un peut il me traduire cela de maniere mathematique?
Ma question est surtout: dt/dx designe t'il simplement l'inverse de dx/dt ou y a t'il une signification plus profonde? J'ai l'impression que oui, vu que l'auteur l'utilise pour se debarasser du "dt" et ainsi obtenir une equation ne dependant pas du temps. J'ai intuitivement bien compris le principe, mais j'ai besoin d'une definition mathematique precise pour pouvoir avancer (et je vous arrete tout de suite: rien a voir avec l'ANS)

Merci d'avance pour votre aide!

[ft73]

Ouf ! Je me suis tapé l'autre discussion, qui ressemble davantage à un bal des egos plutôt qu'à une réponse à ta question...

Déjà dx/dt=f(x) c'est bizarre, la variable étant t.
Bon, concernant le dx/dt : il y a deux sens possibles qui se rejoignent.
Le premier est le quotient d'infiniment petits, qu'on peut amener de la sorte : si y=f(x), f(x+h)-f(x)=f'(x).h+h.e(h) soit (f(x+h)-f(x))/h=f'(x)+e(h) ; soit delta(y)/delta(x)=y'+e(h) qui donne, si h est "très petit" dy/dx=y', avec un vrai sens de quotient pour le dy/dx.

Lorsque tu inverses ce quotient, tu obtient bien 1/y'.

Maintenant avec le sens mathématique "pur" STANDARD (...) dx/dt=x'(t) et il faut justifier l'écriture dt/dx : t est-elle une fonction de x ? La réponse est oui lorsque la dérivée intiale n'est pas nulle, c'est de théorème d'inversion locale en dim 1.

Bon, j'espère que ça te fera avancer.

[Doraki]

dt/dx est la dérivée de la fonction t(x) qui donne t en fonction de x.

La dérivation d'une fonction composée dit immédiatement que dt/dx * dx/dt = 1.
Et plus généralement, que dx/dy * dy/dz = dx/dz.

[JeanJ]

Bonjour,

J'ai suivi avec amusement les péripéties de la discussion dans "Café mathématique". Je dois dire qu'il est dommage que je n'aie pas eu cette discussion sous la main à l'époque où a été écrit l'article "Une querelle des Anciens et des Modernes" (publié à l'époque dans la revue QUADRATURE) maintenant accessible par le lien :
http://www.scribd.com/people/documents/10794575-jjacquelin
C'est dommage car cette discussion (bien appropriée à "Café mathématique" ! ) contient des perles dont la citation aurait pu agrémenter l'article ( qui était voulu "grand public" et humoristique, autant que faire se peut sur un tel sujet ! )
Ceci dit, Ft73 et Doraki ont répondu içi à un niveau simple qui semble bien en rapport avec celui de la question de Pafapafadidel, telle qu'elle est énoncée (pas d'ANS). Je n'y rajouterai donc rien.
Et je reconnais par avance que ma présente intervention ne sert à rien. Donc pas la peine de me le faire remarquer... :ptdr:

[Pafapafadidel]

J'avais effectivement besoin de ces precisions pour avancer. Le concept de se donner t en fonction de x m'etant peu familier, quelques eclaircissements ne sont pas superflus. Je vais etudier plus en profondeur le fonctionnement de cette notation (avec le TIL notamment, ca semble une bonne idee) avant d'aller plus loin.

Pour alimenter le debat d'une facon plus saine, je dirais que c'est interessant de voir que cette notation a une utilite pratique en plus d'ettre traditionelle. J'ai pu noter la subtile nuance avec la notation derivee partielle (deux notations que j'ai tout le temps confondu jusqu'alors).

Merci a vous deux!