D.l.

[T-T]

bonsoir
je viens d'aborder les D.L. , et j'ai un peu de mal
Pouquoi par exemple , pour le DLn,0 de exp on va jusqu a n+1
et celui de ch jusqu a 2n+2

merci

[Joker62]

Salut.

Ce que tu entends par "aller jusque" j'imagine que tu parles de la puissance associée à x dans le "petit o" ?

[T-T]

ouais c'est ca. Je sais que pour trouver ces dl on doit utiliser taylor-young
mais je ne comprend pas pourquoi parfois on a o(x^(n+1) et d autre fois o(x^2n) par exemple

excusez mon imprecision mais je n'ais pas encore aborder ce cours en classe
merci

[Ben314]

Salut,
En fait tes o(x^(n+1)) ou o(x^(2n)) ne sont là que parce que les formules sont plus simple à écrire de cette façon :
Si on te demande les D.L. de exp(x) et sin(x) à l'ordre 3, c'est :


bon, si maintenant on te demande les même à l'ordre 4, c'est :


Tu constate que, pour le sinus, à part le o(?) c'est la même chose qu'à l'ordre 3 car il n'y a pas de terme de degrés 4 (la fonction sinus est impaire). Cela explique que dans la formule "théorique", c'est à dire avec un n, on écrit toujours celle du sinus à un ordre impair, et pour dire que n est impair, on l'écrit... 2n+1.

Tout ça pour dire que l'on peut évidement écrire le D.L. du sinus et du cosinus ("normal" ou hyperbolique) à l'ordre que l'on veut, mais si on voulait les écrires à l'ordre n sans savoir si n est pair ou impair, la formule serait un peu chiante à écrire : pour le D.L. de cosh, si n est pair le dernier terme est en x^n, si n est impair, le dernier terme est en x^(n-1) [normal vu qu'il n'y a que des termes de degrés pair !!!]

[T-T]

merci !
J'ai une derniere question.
Au debut pour determiner un dl , on est souvent oblige de faire plusieur essais pour tomber sur le bon ordre par manque dd pratique, mais j'ai vu un exemple ou il determine un equivaleent pour le faire directement mais je comprends pas

[Ben314]

Effectivement, "voir" dés le début à quel ordre on doit faire les D.L. pour répondre à la question demandée (par exemple un calcul de limite) demande un peu d'habitude : il faut avoir une bonne vision de quels sont les termes qui vont "s'éliminer".
Par rapport à ton exemple avec des équivalents, à froid, je vois pas trop...
Si tu veux, donne l'exemple.

[T-T]

DL5, de ln(cosx)sinx

ln(cosx)~-x^2 et sinx ~x

et ils en concluent qu il faut trouver un DL4,0 de ln(cosx) et unDL3,0 de sin x

[Ben314]

Effectivement, le raisonement est "bébète" :
Comme ln(cosx)~-x^2 le D.L. à l'ordre n va être : -x²/2+?x^3+?x^4+...+?x^n+o(x^n)
Comme sinx ~x le D.L. à l'ordre m va être : -x+?x^2+?x^3+...+?x^m+o(x^m)
Et, quand on va faire le produit, les 'o(x^?)' les plus petits que l'on va obtenir sont -x²/2.o(x^m)=o(x^(m+2)) et -x.o(x^n)=o(x^(n+1)).
Comme on veut que le résultat soit un D.L. à l'ordre 5, il suffit de prendre n et m tels que m+2=n+1=5.
Avec un tout petit peu d'habitude, on fait évidement ces "mini calculs" de tête.