O(2,0)=o(2)

par **barbu23** » 01 Fév 2010, 17:19

Bonjour à tous : :happy3:

Quelle est l'action naturelle de

dans

.

Soit

un polygone régulier à

cotés centré en

.
Que signifie un groupe diedral :

d'ordre

.
Pourquoi le sous groupe de

laissant invariant

est le groupe diedral

d'ordre

?
Pourquoi :

?
MErci d'avance ! :happy3:

par **Finrod** » 01 Fév 2010, 17:37

Le groupe diedral est le groupe des isométrie d'un polygone à n-côté, il est engendré par la rotation d'angle

et une symétrie. En fait il est produit semi-direct d'un sous groupe de symétries d'ordre 2 par le sous- groupe de ses rotations.

Si on ne prend que les isométries de signature positive, il reste uniquement les rotations soit

par **yos** » 01 Fév 2010, 21:03

barbu23 a écrit: Quelle est l'action naturelle de dans .

Si

et

, on pose g.x=g(x).
Fallait y penser hein?

par **Ben314** » 01 Fév 2010, 21:17

yos a écrit:Si et , on pose g.x=g(x).Fallait y penser hein?

A la limite, vu que la notation O(2) est censée représenter un ensemble de matrices, on peut même écrire g.x=g.x où le point de droite désigne la multiplication matricielle...

par **yos** » 02 Fév 2010, 08:46

C'est vrai ça. O(2) c'est les isométries du plan ou bien c'est les matrices d'isométries du plan ?? Ca doit dépendre des auteurs.

par **Ben314** » 02 Fév 2010, 09:07

En ce qui me concerne (donc ça vaut... ce que ça vaut), quand je veut être un peu "pédant", je note

l'ensembles des matrices nxn réelles orthogonales et

(avec

espace eucliden) l'ensemble des isométries vectorielles de E.
Attention, l'ensemble des rotations du plan

est

(noté aussi

) : c'est le groupe spécial orthogonal.
Dans

, il y a aussi les reflexions.

par **yos** » 02 Fév 2010, 12:03

Ben314 a écrit:Attention, l'ensemble des rotations du plan est

En effet; j'ai corrigé, merci.

par **barbu23** » 02 Fév 2010, 13:23

J'ai un peu de mal à comprendre ça : :happy3:

On considère :

telle que :

:

Par conséquent :
Le produit semi - direct :

est le produit cartesien :

muni de la loi de composition interne suivante :

:

C'est ça ?
Oui, mais quel lien a tout celà avec :

?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_di%C3%A9dral

est constitué de : rotations :

composées avec

et représentées par l'écriture :

et de : rotations :

composées avec une reflexion

représentées par l'écriture :

et donc :

C'est ça ou non ?
Merci d'avance ! :happy3:

par **Ben314** » 02 Fév 2010, 13:52

Oui, c'est parfaitement ça.
Le lien avec Dn, c'est que avec ça, tu as non seulement une bonne description des éléments du groupe, mais aussi une "règle trés simple" pour faire des produits dans le groupe.
La "règle" est

et elle permet d'écrire trés rapidement le produit (dans le groupe) de deux éléments quelconques.
Par exemple

O(2,0)=o(2)

O(2,0)=o(2)

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