Théorie algébrique des nombres

[lapras]

Bonjour,
je début vraiment dans ce domaine, je ne connais que le strict minimum sur les anneaux, corps...
J'ai plusieurs questions :
1)Pour démontrer le petit théoreme de fermat, ou d'euler, j'ai lu :
Considérons l'anneau Z/nZ. Si pgcd(a,n) = 1, alors est une unité dans cet anneau. Les unités forment un groupe multiplicatif d'ordre phi(n), et donc clairement . Donc

Je suis d'accord que a est inversible puisque premier avec n. Il appartient donc au groupe des unités.
Je suis d'accord que le cardinale du groupe des unités (ou l'ordre) est phi(n).
Mais comment en déduire trivialement que ?
Bien sur je pense qu'ils font le produit des inversibles pour arriver au résultat, mais il semble qu'ils puissent affirmer le théoreme d'euler comme une conséquence triviale de qqchose...

2) Considèrons l'anneau des entiers dans le corps cubique avec et l'équation en entiers (x,y) :

On note
on a donc est une unité.
L'unité fondamentale est \theta + 1.
Si est une unité, d'apres le théoreme de dirichlet, on a :
(au signe pres)


Mes questions :
Une unité est définie comme inversible. Dans notre anneau des entiers, je suis d'accord que toute unité a pour norme 1. Mais réciproquement est ce que tout élément de norme 1 est une unité ?
Comment démontrer que les unités sont une puissance de l'unité fondamentale (au signe pres) ?

Merci d'avance
Lapras

[R.C.]

Bonjour,
Je n'y connais pas grand chose moi non plus mais je vais quand meme essayer de repondre un peu aux questions.
1) En fait comme son nom l'indique, le groupe des unites est un groupe (multiplicatif), et en plus il est d'ordre phi(n). Donc tous ses elements sont d'ordre divisant phi(n).

2)La je ne peux pas repondre en detail, alors je vais faire des remarques : l'anneau Z[theta] est compose de tous les elements de la forme a+btheta+ctheta^2+... Il se trouve que theta^3 = -2, donc ca simplifie un peu les choses, et ts les elements sont de la forme a+btheta+ctheta^2 avec a,b,c entiers. Apres la norme ne semble definie que sur certains des elements de l'anneau. I doit y avoir un moyens de remedier a ca mais je n'ai pas le courage de le faire (peut etre mettre des j et des j^2??). Par contre on a
N(a+btheta) = (a+btheta)(a^2+(btheta)^2-abtheta)
donc si a+btheta est de norme 1 c une unite.
Pour ce qui est du th de Dirichlet, je seche. J'ai regarde sur wikipedia, ca a l'air d'etre de haute volee.

[yos]

Mais réciproquement est ce que tout élément de norme 1 est une unité ?

Si c'est un entier oui (élément de ) car alors , donc , c'est -à-dire qu'on a un inverse.
Si c'est pasd un entier, alors non.

Comment démontrer que les unités sont une puissance de l'unité fondamentale (au signe pres) ?

Regarde ton théorème et calcule les entiers r et c du corps (nombre de plongements réels et complexes de K.
Le signe moins du me laisse perplexe.

[lapras]

Merci pour vos réponses.
Yos > je ne vois pas ce que tu appelles plongements réels et complexes de K...
Je n'ai vraiment aucun bagage de théorie algébrique des nombres.

[yos]

Le polynôme minimal de est . Ses racines sont , et . On dit que les deux dernières sont les conjugués de (toujours relativement à notre extension où ).
Il existe exactement trois homomorphismes de K dans :Id , celui défini par et celui défini par . Ces morphismes sont injectifs (comme tout morphisme de corps) et leurs images sont les corps et .
Le premier est inclus dans pas les autres. On a donc r=1 (un seul plongement réel) et c=1 (2c=2 plongements complexes).
Dirichlet dit alors que le groupe des unités est essentiellement un -module de rang donc ici de rang 1. Ainsi, il y a un seul générateur qu'on appelle l'unité fondamentale. Le fait que c'est n'est pas forcément évident.
Pourquoi "essentiellement"? J'ai omis la partie de torsion : devant le on met l'une quelconque des racines de l'unité contenues dans K, mais ici, il n'y a que 1 et -1 d'où le "au signe près".

[kazeriahm]

Je suis d'accord que a est inversible puisque premier avec n. Il appartient donc au groupe des unités.
Je suis d'accord que le cardinale du groupe des unités (ou l'ordre) est phi(n).
Mais comment en déduire trivialement que ?

Salut

juste pour revenir à ca, de manière générale si G est un groupe d'ordre n, alors pour tout x dans G, x^n=1

[ffpower]

Salut

juste pour revenir à ca, de manière générale si G est un groupe d'ordre n, alors pour tout x dans G, x^n=1

Qui est conséquence du theoreme de Lagrange,qu on peut je pense qualifier de fondamantal:Si G est un groupe,H un sous groupe de G,alors le cardinal de H divise le cardinal de G(prendre H=)
Preuve de Lagrange:Si x est dans G,on pose xH={xh,h dans H}.Alors on a
-pour tout x,xH est de meme cardinal que H
-pour tout x,y xH et yH sont soit egaux,soit disjoints(selon que x^{-1}y soit dans H ou pas)
-pour tout x,x est dans xH
Ainsi,si on regarde les différents xH qu on obtient qd x parcourt G,on obtient une partition de G par des ensembles ayant tous meme cardinal que H.Le résultat en découle