Bonjour,
j'ai un souci avec cet exercice:
L'énoncé de ce théorème est le suivant:
Soient
,
deux espaces affines réels de même dimension
(
) et
une application bijective de
dans
. Alors
est une application affine si et seulement si elle envoie trois points alignés sur trois points alignés.
On part de l'hypothèse que
envoie trois points alignés sur trois points alignés.
a) Montrer que si
est un sous-espace affine de
, alors
)
est un sous-espace affine de
.
b) Soit
un hyperplan de
. Montrer que la dimension de
)
est strictement inférieure à
.
En déduire que les images par
des points d'une base affine de
forment une base affine de
, puis que les images de
points (
) affinement indépendants sont affinements indépendants.
c) En déduire que l'image d'une droite est une droite, l'image d'un plan est un plan, puis que les images de deux droites parallèles forment deux droites parallèles.
d) Montrer que si
et
sont des points de
non colinéaires avec
alors les images
des points
par
vérifient:
.
Soient
et
deux points distincts de
. Pour tout réel
, on considère le point
tel que
. Remarquer qu'il existe un unique réel
tel que
.
On peut donc définir une application de
dans
:
:=\lambda')
.
e) Soient
et
deux points de
tels que
et
. En utilisant un point
auxiliaire hors de la droite
et des parallèles construire le point
tel que
\vec{OA})
.
Par une méthode analogue, construire le point
tel que
\vec{OA})
.
f) Déduire des constructions précédentes que
est un endomorphisme du corps de
, et donc que
est l'application identité.
g) Montrer que
est affine.
h) On vient de montrer un sens du théorème. Que pensez-vous de la réciproque?
i) Montrer que les hypothèses
(
),
(f bijective) et (le corps de base est
) sont nécessaires.
Déjà pour la a), je ne vois pas comment faire :hein:
Merci pour votre aide.
