Théorème fondamental de l'arithmétique

par **jeje56** » 26 Juin 2010, 08:59

Bonjour,

Je propose cette démonstration de l'unicité de la décomposition en produits de facteurs premiers :

Soit H_n la propriété :

où :

et

H_3 est vraie :

Supposons

et H_n vraie ;
p_1 divise q_1...q_s donc il existe j tel que p_1 divise q_j
Or q_j étant premier, p_1=q_j
Donc,

(q_1 plus petit des q_j)
De même, on montre

D'où : p_1=q_1
En simplifiant par p_1, l'hypothèse de récurrence assure que p_2=q_2,...,p_r=q_s et que r-1=s-1 puisque n/p_1 strictement inférieur à n
D'où H_(n+1) est vraie

Voilà :-)

par **Doraki** » 28 Juin 2010, 13:52

jeje56 a écrit:En simplifiant par p_1, l'hypothèse de récurrence assure que p_2=q_2,...,p_r=q_s et que r-1=s-1 puisque n/p_1 strictement inférieur à n
D'où H_(n+1) est vraie

non, l'hypothèse de récurrence ne s'applique pas quand n/p1 = 1.

par **jeje56** » 28 Juin 2010, 14:18

A première vue, c'est vrai... Où faudrait-il distinguer ce cas ?

Théorème fondamental de l'arithmétique

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