Tangente

[jeje56]

Bonjour,

Je démontre l'équation de la tangente à une courbe en A(a,f(a)) : j'introduis la famille de droite (AMx).

Pour x fixé, l'équation de (AMx) est : y=t(x)(t-a)+f(a) où t(x) est le taux d'accroissemnts de f en a

si la limite de t(x) en a est finie, je déduis l'équation de la tangente ; mais si elle est infinie, je n'arrive pas à montrer que l'équation est alors : x=a...

Merci bcp de votre aide !

[Ben314]

Fait un peu gaffe si t'est toujours sur tes orals de capes au "je déduit la tangente" qui risque d'ammener le jury à te demander :
"Comment définissez vous la limites de droites dépendant d'un paramètre ?"
Ca veut pas dire qu'il faut pas en parler, mais peut être anticiper la question en précisant (au moins à l'oral) ce que tu entend par "limites de droites".

Ensuite, si tu veut obtenir les tangentes verticales avec ce type de procédés eh ben... t'a qu'à te demander comment tu définit qu'une famille (paramétrée) de droite "tend" vers une verticale...

[jeje56]

J'ai défini l'existence d'une droite limite par l'existence d'une limite au taux d'accroissement... J'ai appellé tangente cette droite limite.

Après je donne la proposition : T a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a) si la limite est finie et x=a si elle est infinie...

[Ben314]

A mon avis (donc discutable...) c'est le mieux : dire que, par définition, la pente de la tangente (qui est un réel et pas une droite) et la limite du taux d'accroissement et que (toujours par definition) on dit qu'il y a une tangente verticale (i.e. d'équation x=a) lorsque le taux d'accroissement tend vers +oo (ça évite d'avoir à introduire la notion générale de limite de droite...)
En faisant un petit dessin à coté pour montrer que "cela colle avec l'intuition que l'on se fait d'une tangente" je pense que c'est impec.

[jeje56]

D'accord, mais dans ce cas, comment démontrer : Cf admet une tangente non verticale au point d'abscisse a ssi f est dérivable en a, sans parler de l'équation de AMx...

Et d'ailleurs, comment définis-tu la tangente ?

Qu'en penses-tu ? Et qu'en pensent les autres ?

[Ben314]

Ce que j'en pense, c'est qu'à un moment ou un autre, il faut bien donner une définition de la tangente !!!
Puis que, si tu définis la tangente comme la droite passant par (a,f(a)) et ayant comme pente la limite du taux d'accroissement (lorsque cette limite existe) alors, par définition, il existe une tangente en a ssi f est dérivable en a.
Tu prendrait quoi d'autre comme définition de la tangente ?

P.S. : il faudrait (évidement) aussi définir ce qu'est "étre dérivable en a"...

[jeje56]

Oui, je pense que tu as raison, c'est plus clair comme ça, en ne parlant pas de limite de droite... Par contre, on parle par définition de tangente verticale quand le taux est infini, mais l'équation x=a est un peu intuitive non ?

Edit : autant pour moi, tangente verticale passant par A...

Merci Ben !