Salut salut :)
Voilà, demain j'ai une interro' et je soupçonne fortement que injection/surjection tombe.
Or, à mon avis, on a pas suffisamment bossé ça, en tout cas je ne m'en sens pas capable.
Quelqu'un aurait-il un petit exercice sous la main, où il faut démontrer une injection, une surjection (ou mieux, une bijection) ?
Et ce quelqu'un pourrait-il m'aider ensuite si je galère ? :D
Merci d'avance mes frayres !
Bonne soirée à tous :happy2:
In/Surjectivité !
19 messages
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par Ben314 » 15 Oct 2010, 17:04
Salut,
Un classique parmi les classiques :
1) Montrer que, pour tout
, =\frac{(a+b)^2+3a+b}{2})
est un entier naturel.
2) Montrer que
est une bijection.
Un classique parmi les classiques :
1) Montrer que, pour tout
2) Montrer que
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Mobster » 15 Oct 2010, 17:50
Ah ok j'arrive pas à démontrer la question 1 ^^'
J'arrive pas à mettre sous la forme 2k le numérateur, k entier naturel.
J'ai failli tenter avec la forme canonique mais vu que je me souviens plus du tout comment on l'utilise, alors j'ai abandonné x).
Je passe à la question 2 du coup hein xD
J'arrive pas à mettre sous la forme 2k le numérateur, k entier naturel.
J'ai failli tenter avec la forme canonique mais vu que je me souviens plus du tout comment on l'utilise, alors j'ai abandonné x).
Je passe à la question 2 du coup hein xD
par benekire2 » 15 Oct 2010, 17:52
Salut, pour la question 1 , a et b sont soit pairs soit impairs. T'as qu'à tester pour les cas possibles.
par Mobster » 15 Oct 2010, 17:57
Question 1 c'est fait, merci benekire2 :)
Par contre pour la bijectivité je ne vois point.
Injectivité puis surjectivité ?
Je sais pas tellement démontrer tout ça :S
Par contre pour la bijectivité je ne vois point.
Injectivité puis surjectivité ?
Je sais pas tellement démontrer tout ça :S
par benekire2 » 15 Oct 2010, 18:02
Ouep , si ben t'as donné ça c'est pas un tout bête exo d'appli non plus, ca servirat a quoi ?
Bon en effet c'est injectivité puis surjectivité.
D'abord , calcule sur deux trois exemples, je pense que ça pourra t'aider.
Pour l'injectivité par de f(a,b)=f(a',b') et montre que (a,b)=(a',b') et pour la surjectivité part de f(a,b)=k pour un k arbitraire de N et essaye de nous monter un couple (a,b) solution [c'est je crois tout là l'intérêt d'avoir tester deux trois valeurs sur une feuille]
Bon en effet c'est injectivité puis surjectivité.
D'abord , calcule sur deux trois exemples, je pense que ça pourra t'aider.
Pour l'injectivité par de f(a,b)=f(a',b') et montre que (a,b)=(a',b') et pour la surjectivité part de f(a,b)=k pour un k arbitraire de N et essaye de nous monter un couple (a,b) solution [c'est je crois tout là l'intérêt d'avoir tester deux trois valeurs sur une feuille]
par Nightmare » 15 Oct 2010, 20:54
Quelles sont tes idées? As-tu suivi le cheminement proposé par Benekire2 ? Où bloques-tu?
par barbu23 » 15 Oct 2010, 22:14
Bonsoir,
A mon avis, pour pouvoir comprendre ce qu'est la surjectivité et l'injectivité, il faut commencer par des exemples simple pour pouvoir saisir le principe, car c'est d'abord ça ce qu'il faut retenir, ensuite passer à des exos avec un niveau un peu plus elevée ... etc
:marteau:
A mon avis, pour pouvoir comprendre ce qu'est la surjectivité et l'injectivité, il faut commencer par des exemples simple pour pouvoir saisir le principe, car c'est d'abord ça ce qu'il faut retenir, ensuite passer à des exos avec un niveau un peu plus elevée ... etc
:marteau:
par barbu23 » 15 Oct 2010, 22:32
Ben314 a écrit:Salut,
Un classique parmi les classiques :
1) Montrer que, pour tout
2) Montrer que
pour
Pour
tu fais un schema, et tu verras les choses plus clairement que ça . :happy3:
par Ben314 » 16 Oct 2010, 00:26
Bon, comme j'ai peur de... t'avoir fait peur avec mon exo, je te donne la correction.
1) En fait on a=\frac{(a+b)^2+(a+b)+2a}{2}=\frac{(a+b)(a+b+1)}{2}+a)
qui est un entier naturel vu que des deux entier succéssifs a+b et a+b+1 il y en a forcément un pair (donc le produit est pair).
2) Ici, il n'y a pas vraiment de difficulté lié à la notion d'injectivité et/ou de surjectivité, mais plutôt des difficultés calculatoires...
On fixe un n dans N et on va chercher le(s) couple(s) (a,b) de N² tels que f(a,b)=n.
[si on trouve systématiquement un et un seul couple (a,b) et cela quelque soit le n de départ, cela montrera que f est bijective]
On cherche donc (a,b) tels que(a+b+1)}{2}+a=n)
.
Cela revient à chercher
et 
tels que 
(pour que 
) et }{2}+a=n)
ce qui signifie que l'on doit forcément prendre }{2})
.
Reste à trouver quelles sont la(les) valeur(s) possible(s) pour
de façon à avoir 
, c'est à dire }{2}\leq s)
soit encore }{2}\leq n)
ET }{2}\geq n)
.
Mais la deuxième inégalité peut se réécrire}{2}\geq n+1)
soit encore (s+2)}{2}>n)
On cherche donc tel que ET et, clairement, un tel existe et est unique : c'est le plus grand entier tel que (la deuxième inégalité traduit que l'entier suivant ne vérifie plus cette inégalité).
Conclusion : il y a un et un seul possible donc un et un seul possible et aussi un et un seul 
(
) possible : la fonction f est bien bijective.
1) En fait on a
2) Ici, il n'y a pas vraiment de difficulté lié à la notion d'injectivité et/ou de surjectivité, mais plutôt des difficultés calculatoires...
On fixe un n dans N et on va chercher le(s) couple(s) (a,b) de N² tels que f(a,b)=n.
[si on trouve systématiquement un et un seul couple (a,b) et cela quelque soit le n de départ, cela montrera que f est bijective]
On cherche donc (a,b) tels que
Cela revient à chercher
Reste à trouver quelles sont la(les) valeur(s) possible(s) pour
Mais la deuxième inégalité peut se réécrire
On cherche donc
Conclusion : il y a un et un seul
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par mathelot » 16 Oct 2010, 05:23
voilà un résultat simple et fondamental (cf par exemple, MacLane Birkhoff "Algebra" ,Bourbaki "Algèbre", ou Warusfeld)
f une application de E vers F
f est surjective
f est inversible à droite
f est injective f est inversible à gauche
si f est bijective (inversible à droite et à gauche), les deux inverses coïncident
sinon, tu as le beau théorème de Cantor-Bernstein...ici
ps: mes références bibliographiques doivent dater,vues les décennies :we:
f une application de E vers F
f est surjective
f est injective
si f est bijective (inversible à droite et à gauche), les deux inverses coïncident
sinon, tu as le beau théorème de Cantor-Bernstein...ici
ps: mes références bibliographiques doivent dater,vues les décennies :we:
par mathelot » 17 Oct 2010, 09:33
Ben314 a écrit:Salut,
Un classique parmi les classiques :
1) Montrer que, pour tout
2) Montrer que
[img][IMG]http://img39.imageshack.us/img39/5210/bij1.jpg[/img] Uploaded with ImageShack.us[/IMG]
![[IMG]http://img39.imageshack.us/img39/5210/bij1.jpg[/img]](http://img39.imageshack.us/i/bij1.jpg/){kind=link}
par mathelot » 17 Oct 2010, 09:42
Bonjour,
cf le bô dessin du message précédent..
Soit}{2}+a)
Pour inverser la bijection,
étant donné, il se situe sur le segment
de droite d'équation b=s-a
avec)
(points verts) ou  - 1)
(points rouges)
et}{2})
on peut inverser cette bijection par un algorithme assez curieux
on calcule
la partie entiere de 
,
par l'application directe, on vérifie les coordonnées (a,b) fonctions de, si elles sont ok, ,c'est fini
sinon on teste avec
.
cf le bô dessin du message précédent..
Soit
Pour inverser la bijection,
de droite d'équation b=s-a
avec
(points rouges)
et
on peut inverser cette bijection par un algorithme assez curieux
on calcule
par l'application directe, on vérifie les coordonnées (a,b) fonctions de
sinon on teste avec
là, ça a l'air exact...
par mathelot » 17 Oct 2010, 10:22
mathelot a écrit:Bonjour,
cf le bô dessin du message précédent..
Soit
Pour inverser la bijection,
on calcule
puis
puis f(u,v)
si f(u,v)= n , c'est ok , (a,b)=(u,v) (cas des points verts)
sinon on teste avec
un peu de glose....
par mathelot » 17 Oct 2010, 10:50
En système de coordonnées (a,b)
sur les segments d'équation a+b=constante
dans la direction
il y a un seul carré parfait dans la numérotation 2n , par segment.
Tous les points numérotés 2n par un carré parfait, sont alignés sur la droite d'équation b=a+1
je me suis demandé si le fait que la droite d'alignement soit légèrement décalée b=a+1
relativement à la 1ère bissectrice du repère d'équation b=a
ne provenait pas du fait que
est irrationnel ?
autre question
si l'on remplace les segments de droites par des segments d'hyperboles d'équation
,non plus a+b=constante, mais ab=constante
et que l'on applique un principe multiplicatif,on devrait obtenir pour f(a,b)
une fonction arithmétique ?
sur les segments d'équation a+b=constante
dans la direction
il y a un seul carré parfait dans la numérotation 2n , par segment.
Tous les points numérotés 2n par un carré parfait, sont alignés sur la droite d'équation b=a+1
je me suis demandé si le fait que la droite d'alignement soit légèrement décalée b=a+1
relativement à la 1ère bissectrice du repère d'équation b=a
ne provenait pas du fait que
autre question
si l'on remplace les segments de droites par des segments d'hyperboles d'équation
,non plus a+b=constante, mais ab=constante
et que l'on applique un principe multiplicatif,on devrait obtenir pour f(a,b)
une fonction arithmétique ?
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