Suite complexe périodique

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Bonjour, j'ai un magnifique DM qui traite des fonctions complexes périodiques.
Et il ya (déjà) une des premières questions qui me bloque!

On a montré que l'ensemble des fonctions complexes périodiques (noté P) est un sev de l'ensemble des suites complexes bornées (noté B)/

On nous demande si P est de dim finie .
Alors gros soupir ...

Je suppose que oui en voyant la suite du problème mais alors d'où ça vient ...

Merci

[arnaud32]

un ensemble de fonction qui est un sev d'un enemble de suites?
on peut avoir l'enonce?
donc je suppose que tu veux dire suite au lieu de fonction

tu notes la suite definie par = 1 si k|n et 0 sinon
et tu consideres { u^k | k premier et k>1 }

[Bony]

Pour montrer que c'est un sev il faut montrer que

- La suite nulle est une suite complexe périodique
- Toute combinaison linéaire de suites complexes périodiques est une suite complexe périodique

[Impiger]

Oui pardon en effet j'ai tapé "fonction" au lieu de suite. J'étais fatigué. On ne parle que de suites dans tout le problème. Si j'ai dit "fonction" c'est faux partout.
En fait l'énoncé c'est le sujet de Mines-Ponts Maths1 1995.
http://concours-maths-cpge.fr/fichiers.php

Mais je ne vois pas comment la suite u^k permet de conclure sur le caractère fini ou pas de l' ev des suites complexes périodiques P. Je ne vois pas tout à fait le rapport .

mERCI

[ffpower]

Si tu as 2 suites périodiques u et v, tu as donc montré que toute combinaison linéaire de u et v est périodique. Et que peux tu dire de la période d'une combinaison linéaire de u et v par rapport aux periodes de u et v?

[arnaud32]

Les suites u_k sont elles dans P ?
La famille est elle libre?
La famille est elle finie ou infinie?

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Et bien il me semble que la période de la combinaison linaire des suites est la combinaison linéaire des périodes des suites. Mais je ne vois pas à quoi ça me sert.


En revanche à ce moment -là pour u_k:
-elles sont dans P
-la famille est libre
- et c'est une famille infinie

donc j'ai le droit de conclure à partir de ça que mon ensmble est infini ? Si oui j'ai compris , sinon je crois que je n'ai rien compris ! ?

[arnaud32]

Si ta famille est libre et infinie la dimension est forcément infinie

[Bony]

Ou bien l'ensemble des cos(a+n) avec a parcourant R

[arnaud32]

Ou bien l'ensemble des cos(a+n) avec a parcourant R

La famille n est pas libre
Ex a=0 et a=2pi représentent la meme suite

[Bony]

Avec a entier alors, ca doit marcher

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Dans ce cas merci beaucoup !

[ffpower]

Et bien il me semble que la période de la combinaison linaire des suites est la combinaison linéaire des périodes des suites. Mais je ne vois pas à quoi ça me sert.

Nope..du coup je veux bien voir ta preuve sur le fait que P est un espace vectoriel

En revanche à ce moment -là pour u_k:
-la famille est libre

Tu saurais le prouver?

donc j'ai le droit de conclure à partir de ça que mon ensmble est infini ?

De quel ensemble tu parles?

Ou bien l'ensemble des cos(a+n) avec a parcourant R

La suite u_n=cos(n) n'est pas périodique. De plus la famille n'est pas libre comme ça a été remarqué, et ça devient effectivement libre en restreignant a aux entiers mais c'est pas facile à prouver..

[Le_chat]

Je pense que le plus simple pour montrer que P est de dimension infinie est d'exhiber une famille infinie libre, et je pense que la famille libre la plus simple est la famille (up) où pour tout p:


up est p périodique, (up)(1)=...(up)(p-1)=0 et (up)(p)=1.

[Impiger]

Ben pour montrerque P est un sev de B, j'ai utilisé la caractérisation à savoir que P est inclus dans B puisque toute suite périodiqe est bornée , 0 est dedans et stable par combinaison linéaire : la période de la somme n'est pas la somme des périodes ? (oui sans le coefficient je me suis trompé en écrivant )

Pour montrer que la famille est libre, je sais faire, puisque tous les termes sont structement positifs, si on fait une somme qui vaut zéro , forcément tous les coefficients devraont valoir 0.

Et "mon ensemble" faisiat référence à P. Puisque c'est sur lui que porte la question.

[Doraki]

la période de la somme n'est pas la somme des périodes ? (oui sans le coefficient je me suis trompé en écrivant )

absolument pas.
Une période de la suite 01010101010101 ... est 2
Une période de la suite 001001001001001... est 3,
Mais 5 n'est pas une période de leur somme, 011102011102...

Pour montrer que la famille est libre, je sais faire, puisque tous les termes sont structement positifs, si on fait une somme qui vaut zéro , forcément tous les coefficients devraont valoir 0.

Non il peut y avoir des coefficients négatifs.
Par exemple si tu prends la famille (x1 = 11111..., x2 = 11111...), tous ses termes sont strictements positifs, mais 1*x1 + (-1)*x2 = 0 donc elle n'est pas libre.

[Impiger]

Ah oui , j'avais oublié que les coefficients n'étaient pas tous positifs. Dans ce cas, est-ce qu'on pourrait procéder par l'absurde pour montrer qu'elle est libre ?

Et pour la période de la somme c'est le produir des périodes ?

[Le_chat]

Et pour la période de la somme c'est le produir des périodes ?

Non, et pour avoir fait le sujet en entier, y en a pas besoin de savoir ce que vaut la période d'une somme :lol3:

[Impiger]

dans ce cas comment démontrer la stabilité pour montrer que c'est un espace vectoriel ?

[Doraki]

le produit des périodes de deux suites est en effet une période de la somme de ces suites (ce que tu peux démontrer), mais ce n'est pas toujours la plus petite période.