Somme trigonométrique et inéquation... au secours...

[flooo13]

Bonjour tout le monde.
Je me tourne vers vous en cet après midi pour vous exposer mon problème. Je suis en classe préparatoire et un exercice de math me pose quelques soucis. Cela fait une bonne semaine que je tente tout pour aboutir à la solution mais toujours rien. C'est donc avec grand espoir que je m'adresse à vous :we: !!

L'exercice consiste à démontrer que pour tout n appartenant à N* et pour tout appartenant à ]0,1[ valeur absolue [somme (x^k sin(kx)) somme allant de K=0 à K=n)]
voila en espérant que vous arriverez à m'aider, Merci beaucoup. bonne fin de journée!
PS: je reste connecté pour discuter des solutions.

[flooo13]

ah j'ai oublié de préciser que j'avais tenté de linéariser sin(kx) mais cela me semble assez compliqué , j'ai vite été rebuté par la difficulté et la longueur des calculs. Bon courage

[_-Gaara-_]

Passe en complexes puis binôme de newton ça devrait le faire ;)

[flooo13]

Je ne vois pas trop comment vous voulez procéder pour le passage en nombre complexe... :s Pouvez vous juste m'expliquer cette démarche SVP?
Merci beaucoup en tout cas.

[_-Gaara-_]

oublie ce que j'ai dit j'ai cru qu'il y avait des coefficients binomiaux :D ^^

mais bon, tu peux toujours remarquer que sin(kx) = IM(e^(ikx))

donc ta somme devient (xe^(ix))^k que tu peux sommer et dont tu extrait la partie imaginaire, que tu majore par le truc là

[flooo13]

ok ok je vais essayer de voir ça. Merci
Je reste bien sur preneur de tout autre solution^^

[_-Gaara-_]

je l'ai postée xD

[flooo13]

Je suis désolé mais je n'y arrive pas trop... :s
Peut tu m'expliquer comment tu fait?

[_-Gaara-_]

Somme k=0 à n de x^k e^(ikx) = Somme k=0 à n de (x e^(ix))^k
On reconnait une suite géométrique.. et tu as donc

somme vaut : [x^(n+1) e^(ix(n+1))-1]/(x e^ix -1)

et tu extrait la partie imaginaire :

Somme k=0 à n de x^(k) sin(kx) = (sin((n+1)x)x^(n+1)-sin((n+1)x))/(x-1)

valeur absolue et tu majores xD

[flooo13]

ha magnifique!!!! je fais ça et si jamais ça bloque je te re-solliciterai !
1000 Merci!

[flooo13]

es tu sur du résultat que tu proposes lorsque tu extirpe la partie imaginaire? je ne trouves pas la même chose que toi... je trouve (x^(n+1)*sin (x(n+1))) / -xsin(x)
Je ne comprend pas qu'il reste des "k" dans ta partie imaginaire...

[_-Gaara-_]

oui désolé j'ai fait ça rapidement ;) j'ai 658
65845
5
45
45
4 exos en même temps

[flooo13]

Je comprends :) et d'ailleurs bravo et merci de ta générosité!
Ma solution est la bonne alors?

[_-Gaara-_]

De rien :D

attend que quelqu'un d'autre te confirme quand même je suis encore un novice hein :we:

[flooo13]

Personne d'autre peut m'aider? :cry: allez un petit effort svp!

[flooo13]

Bonjour !
je suis toujours bloqué dans cet exercice , en effet j'ai trouvé plusieurs résultat en utilisant le fait que x^k sinkx était la partie imaginaire d'un complexe mais je n'arrive pas à prouver que c'est inférieur à 1/1-x :briques:
alors j'ai trouvé ces résultats:
2^n*x^n*[cos(x/2)]^n*sin(xn/2)
et [xsinx-x^(n+1)*sin[x(n+1)]-x^(n+2)*sin[x(n+1)]sinx]/(1-x^2)

Je compte vraiment sur votre aide.
Merci beaucoup :help: