Singularités ?

[Ben314]

Ben oui, vu que justement, tu passe (une fois sur deux) par des pôles de f.
Si tu a montré qu'une limite de pôles (distincts) est forcément une singularité essentielle, c'est fini.
Sinon, ben prend que les termes qui existent au lieu de prendre pile poil une suite qui passe exactement par les pôles.

P.S. :
Je sais pas comment tu choisi tes suites "au pif", mais, si j'avais commencé par Zn=n, je pense qu'ensuite, j'aurais pris Zn=-n...
Après, perso, vu que z->exp(z) et 2.i.Pi périodique, le premier truc que j'aurais pris, c'est Zn=a+2niPi (a=cst) où on voit immédiatement que f(Zn) est équivalent à b.Zn, sauf que b dépend de a donc c'est pas bon.

[Lostounet]

Je reviendrai sur cette preuve de limites de poles.

Donc si j'ai bien compris, je peux prendre par exemple:

(Zn) = 1 + 2in*pi
(Zn') = 2 + 2in*pi

On a:
f(Zn) = (1 + 2*i*n*pi)/(exp(2in*pi+1) - 1) ~ Zn/(e - 1)
f(Zn') ~ Zn'/(e^2 - 1)

donc f n'est pas prolongeable en l'infini en une fonction holomorphe g.

Et l'infini n'est pas un pole non plus car pour tout entier k,

|z^k*f(z)| ~ |z^(k+1)/exp(z) | -> 0 (on n'arrive pas à effacer le pb)

conclusion: essentielle

?

[Ben314]

|z^k*f(z)| ~ |z^(k+1)/exp(z) | -> 0 (on n'arrive pas à effacer le pb)

Je sais pas trop vers quoi tu fait tendre z, mais si effectivement, quel que soit k, donc en particulier pour k=0, si on avait z^0f(z)=f(z) qui tend vers 0 lorsque |z|->oo, ça montrerait au contraire que c'est pas du tout une singularité...

[Ben314]

|z^k*f(z)| ~ |z^(k+1)/exp(z) | -> 0 (on n'arrive pas à effacer le pb)

Je sais pas trop vers quoi tu fait tendre z, mais si effectivement, quel que soit k, donc en particulier pour k=0, si on avait z^0f(z)=f(z) qui tend vers 0 lorsque |z|->oo, ça montrerait au contraire que c'est pas du tout une singularité...

f(Zn) = (1 + 2*i*n*pi)/(exp(2in*pi+1) - 1) ~ Zn/(e - 1)
f(Zn') ~ Zn'/(e^2 - 1)

Par contre, ça, ça prouve que c'est une singularité essentielle vu que, si c'était un pôle, la première équivalence dirait que c'est un pôle d'ordre 1 et que f(z) est équivalent à z/(e - 1) lorsque |z|->oo et c'est contredit par la deuxième équivalence.

[Lostounet]

D'accord Ben merci.

Je voudrais juste savoir , pour directement expédier que c'est pas une singularité apparente, que peut-on dire de simple pour montrer que c'est pas prolongeable par holomorphie en l'infini?
Elle tend vers 0 en module ...

[Ben314]

Elle tend vers 0 en module ...

Non, surement pas : vu que c'est une singularité essentielle, f(z) ne tend vers rien du tout (i.e. la limite n'existe pas) lorsque z tend vers +oo.
Dans le cas présent, si tu prend par exemple z=ix avec x réel, il est évident que f(z) ne tend pas vers 0 lorsque x->+/-oo vu que |f(ix)| >= |x|/2

Il y a même un théorème (un peu délicat à démontrer) qui dit que, si zo est une singularité essentielle alors sur tout voisinage de zo, la fonction f prend une infinité de fois toute les valeurs complexes, sauf éventuellement une.