Singularités ?

[Lostounet]

Bonjour

Soit
On me demande d'étudier les singularités de f sur C et sur

J'ai dit que f est holomorphe sur C privé de 0 ... mais que lorsque z tendait vers 0 on avait un prolongement par holomorphie. S'agit-il d'une singularité "apparente" ? Ou bien de ... rien ?

Ensuite j'ai regardé pour la deuxième question f(1/z) en 0 et j'ai trouvé une singularité essentielle... mais je ne sais pas bien le justifier.

Merci de m'aider

[Doraki]

J'ai dit que f est holomorphe sur C privé de 0 ...

perdu

Après oui, f est prolongeable en 0 et a une singularité essentielle en l'infini.
Pour le montrer proprement ça dépend de tes définitions et des théorèmes dont tu disposes
(si ce n'est pas une conséquence immédiate de la question 1)

[Lostounet]

Hello,

Le 2) peut-il être vu comme une conséquence immédiate de la question 1?

Car dans mon cours on me dit de regarder au voisinage de 0 la fonction z-> f(1/z) ..?
Mais je ne sais pas trop quoi dire pour montrer que la singularité est "essentielle" (pas le droit de développer en série de Laurent)

Ps.: Je pensais avoir gagné pourtant? Elle est pas holomorphe sur C tout entier f?

[Doraki]

Ben non... figure-toi que exp(z)-1 a plusieurs zéros.

[Lostounet]

Euh j'ai oublié..

Bien sûr il y a tous les z = 2ikpi..

Comment justifier le prolongement du coup...
Il faut calculer le taux de variation en chaque voisinage de 2ikpi?

[Doraki]

Ben tu regardes la limite de f(z) quand z tend vers la singularité. (taux de variation ? gné ? quel est le rapport ??)

[Lostounet]

Je voulais dire limite...

Puis-je faire tendre le module de z vers 1 et recouvrir tous les cas?

[Doraki]

Non, quand le module de z tend vers 1, z ne tend ni vers 0, ni vers 2ipi, ni vers 4ipi, ...

[Lostounet]

Oui..
Bon je vais essayer d'écrire les choses proprement...
Pour ne plus dire des bêtises.

Ça existe les équivalents complexes?

[Doraki]

Oui, on utilise toujours "f(z) ~a g(z)" comme raccourci de "il y a un voisinage (épointé) de a où g(z) ne s'annule pas, et la limite de f(z)/g(z) vaut 1 quand z tend vers a" et j'crois que ça vérifie toutes les propriétés usuelles.

[Lostounet]

Reprenons donc.


<=> /
<=>


Si k = 0, on a un taux d'accroissement: prolongement de f en 0

Si k non nul, je peux montrer que limite de et que limite |f(z)| en ce point est +infini?
Je soupçonne l'existence de poles d'ordre 1 en ces points.

[Doraki]

Oui tout à fait.

[Lostounet]

Bonjour,

J'ai encore quelques questions techniques.

Pour montrer une singularité essentielle, puis-je montrer que la limite de f(1/z) lorsque z tend vers 0 (par valeurs réelles <0 puis >0) je suis en train de bidouiller mais j'arrive pas à montrer que la limite est non unique en extrayant des suites.

Des idées?

[Ben314]

Je sais pas trop ce que tu veut faire avec tes limites, mais ça me semble un peu compliqué.
Je pense que tu as vu que, si f admet un pôle d'ordre k en z0 (fini), alors f(z0+h) est équivalent à du a/h^k lorsque h->0 (pour un certain a non nul).
Le même truc te dit quoi dans le cas de l'infini (i.e. ça veut dire quoi que l'infini est un "pôle d'ordre k").

Une fois que tu aura vu ça, en prenant deux suites très simples qui tendent vers l'infini, tu verra que ce n'est pas un pôle.
Autre méthode : démontrer une bonne fois pour toute que, si un point est un point limite de l'ensemble des pôles, c'est forcément une singularité essentielle.

[Doraki]

Lorsque tu fais tendre z vers l'infini par valeurs réelles, tu ne regardes qu'une infîme portion de ce qu'il se passe au voisinage de l'infini, donc c'est pas forcément ce qu'il y a de plus évident. De plus ton but ce n'est pas de montrer que la limite est non unique.

Là je comprends pas ce que tu veux faire, j'ai l'impression que tu veux montrer que f n'est pas prolongeable par continuité juste parceque juste avant on avait une singularité effaçable. Même si tu montrais que les limites existent et coincident ça ne prouverait pas que la singularité est effaçable (puisque tu as seulement regardé les valeurs réelles et donc totalement ignoré la grosse majorité de ce qui se passe autour de l'infini) et de toutes façons une singularité non effaçable ça n'est pas la même chose que singularité essentielle (ça pourrait être un pôle par exemple)

[Lostounet]

Bonsoir,

Merci de vos réponses !

Le problème c'est que je me perds avec les modules de z, pas module de z ... (par exemple si je montre qu'il existe une suite (Z1) et (Z2) qui convergent vers le point singulier d'une fonction g et que je montre que g(Z1)-> + infini et que g(Z2) -> - infini lorsque n tend vers l'infini ben.. ça permet pas de montrer que c'est une singularité essentielle vu qu'on raisonne en module. Oui?

Je pense que tu as vu que, si f admet un pôle d'ordre k en z0 (fini), alors f(z0+h) est équivalent à du a/h^k lorsque h->0 (pour un certain a non nul).
Le même truc te dit quoi dans le cas de l'infini (i.e. ça veut dire quoi que l'infini est un "pôle d'ordre k").

Si f admet un pole d'ordre k en l'infini, on peut étudier la fonction g(z) = f(1/z) et si je me fie au développement en série de Laurent il y aura du x^k en 0. C'est cela la question?

Lorsque tu fais tendre z vers l'infini par valeurs réelles, tu ne regardes qu'une infîme portion de ce qu'il se passe au voisinage de l'infini, donc c'est pas forcément ce qu'il y a de plus évident. De plus ton but ce n'est pas de montrer que la limite est non unique.

Euh... si je trouve deux suites qui convergent vers la singularité tel que f(suite 1)--> L1
et f(suite 2) --> Limite 2, j'ai une singularité essentielle non?
C'est dire que f n'admet pas de limite au point singulier non? pourquoi c'est pas mon but?


Je vous soumets mon travail.. d'abord pour les poles et pour la singularité essentielle en +oo. Car j'ai aussi un doute sur un truc de base (les DL):

Soit avec k non nul. J'ai un doute sur les petits o:





Puis j'ai tout divisé par (z - z0) et j'ai eu une limite de "z_0". (en gros ma question: le DL du numérateur?)



Pour la singularité essentielle (mais on ne le sait pas encore), étudions au voisinage de 0:


Je dois trouver deux suites convenables? Ou j'ai mal compris.

[Ben314]

Si f admet un pole d'ordre k en l'infini, on peut étudier la fonction g(z) = f(1/z) et si je me fie au développement en série de Laurent il y aura du x^k en 0.

On peut pas dire que ça soit drastiquement utile, mais vu que f(1/z) est bien plus chiant à écrire que f(z), perso, je m'empresserais de dire que, dans le cas général, on a :
L'infini est un pôle d'ordre k de f <=> f(1/z) équivalent à a/z^k lorsque z->0 <=> f(z) équivalent à a.z^k lorsque |z|->oo.

Ensuite, est-ce que tes suites z1_n et z2_n contredisent ça ou pas ?
Leurs limites, on s'en fout : il y a de forte chance que ce soit l'infini sauf dans de rares cas, mais ce qu'il faut voir, c'est si ça donne le même équivalent ou pas.

[Lostounet]

Quand tu dis qu'on s'en fout... c'est un peu fort non?

Soit (Zn) = (n)
f(Zn) = n/(exp(n) - 1) ~ n/exp(n)

f(z) peut-il être équivalent à a.n^k lorsque n tend vers l'infini ? J'ai pas l'impression.

[Ben314]

Oui, mais en prenant cette suite là, ben tu es justement dans le cas où la limite existe (elle vaut 0) donc ça te dit que f est éventuellement prolongeable en +oo en posant f(+oo)=0 et que de toute façon, ça ne peut pas être un pôle.

Essaye une autre suite et regarde si ça colle avec ce résultat là...

[Lostounet]

Euh que penser de (Un)=n*i*pi?

J'ai pas de limite du tout...