Bonjour,
Dans le cadre d'un dossier que je fais sur les similitudes, je dois justifier la propositions suivante: "Toutes les similitudes sont engendrées par les réflexions et les homothéties". J'ai fait des recherches mais je n'ai rien trouvé de concluant.
Auriez-vous des éléments de réponse?
Merci par avance.
:hein:
Similtudes
9 messages
- Page 1 sur 1
par Dlzlogic » 07 Mai 2013, 11:51
Bonjour,rmarie a écrit:Bonjour,
Dans le cadre d'un dossier que je fais sur les similitudes, je dois justifier la propositions suivante: "Toutes les similitudes sont engendrées par les réflexions et les homothéties". J'ai fait des recherches mais je n'ai rien trouvé de concluant.
Auriez-vous des éléments de réponse?
Merci par avance.
:hein:
A mon époque, on parlait du "corps de homothéties rotations". Ce qui signifie qu'il existe une transformation produit d'une homothétie et d'une rotation pour transformer une figure en une autre semblable.
Je ne sais pas ce qui vous appelez "réflexion", est-ce une nouvelle appellation pour "symétrie" ? Si c'est le cas, votre proposition est fausse, sauf si vous démontrez qu'on peut réaliser une rotation par plusieurs réflexions, ce qui est probablement vrai avec un nombre pair.
par leon1789 » 07 Mai 2013, 12:31
rmarie a écrit:Dans le cadre d'un dossier que je fais sur les similitudes, je dois justifier la propositions suivante: "Toutes les similitudes sont engendrées par les réflexions et les homothéties". J'ai fait des recherches mais je n'ai rien trouvé de concluant.
Le résultat à prouver est bien correct. Elément de réponse :
- la composée de deux réflexions d'axes parallèles donne une translation ;
- la composée de deux réflexions dont les axes s'intersectent en O est une rotation de centre O.
Dans votre cours, qu'elles sont les caractérisations des similitudes ? (définition, etc)
Est-ce que vous connaissez l'écriture complexe (
par Dlzlogic » 07 Mai 2013, 12:39
- la composée de deux réflexions de même centre donne une rotation ;
Reste à définir le centre d'une réflexion.
par leon1789 » 07 Mai 2013, 12:44
Dlzlogic a écrit:Reste à définir le centre d'une réflexion.
Très juste ! Merci. Je reprends :
la composée de deux réflexions dont les axes s'intersectent en O est une rotation de centre O.
(je corrige le message ci-dessus).
par rmarie » 10 Mai 2013, 17:29
Tout d'abord merci pour toutes vos réponses!
Voici ce que j'ai dans mon cours sur les similitudes (dont l'écriture complexe):
D, ((AB)/(CD ))= A'((B')/(C'))D'
Proposition : Une transformation f du plan est une similitude si et seulement s'il existe un réel k strictement positif tel que, pour tous points A et B d'images respectives A' et B', on a A'B' = kAB. Le réel k s'appelle le rapport de la similitude.
Ex. : - L'identité, les translations, les rotations, les symétries orthogonales sont des similitudes de rapport 1.
- Les homothéties de rapport k sont des similitudes de rapport |k|.
2. Propriétés
P1 : La composée de deux similitudes de rapports respectifs k et k' est une similitude de rapport kk'.
Remarque : La composition n'est pas commutative.
P2 : La réciproque d'une similitude de rapport k (k > 0) est une similitude
de rapport 1/k.
P3 : Toute similitude ayant deux points fixes distincts est soit l'identité du plan, soit une symétrie axiale.
3. Isométries
Définition : On appelle isométrie toute similitude de rapport 1. Remarque : Une isométrie est une transformation qui conserve les distances.
Proposition : La composée d'une isométrie et d'une homothétie de rapport k est une similitude de rapport |k|.
Ex. : Une translation, une rotation ou une symétrie axiale sont des isométries.
4. Classification des similitudes
Proposition : Une similitude conserve les angles géométriques.
Définition : Une similitude directe est une similitude qui conserve les angles orientés. Une similitude indirecte est une similitude qui transforme un angle orienté en son opposé.
II. Similitudes directes
1. Propriété caractéristique
Une transformation s est une similitude directe si et seulement si son écriture complexe est z' = az + b où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul.
Le rapport de la similitude est égal au module de a. L'angle de la similitude est un argument de a.
Proposition : Toute similitude plane directe autre qu'une translation admet un unique point invariant, appelé centre de la similitude.
Ex. : La similitude de centre
(0 ; - 1), de rapport (2)et d'angle /4 a pour écriture z' = (1 + i)z - 1.
2. Théorème
Une similitude directe plane de rapport k et d'angle est :
- soit une translation si k = 1 et = 0 ;
- soit la composée dans un ordre quelconque d'une rotation de centre et d'angle et d'une homothétie de centre et de rapport k.
Elle admet alors une écriture complexe de la forme z' - = a(z - ) où |a| = k et arg a = (2;)) et = Z;)
Ex. : La similitude directe d'écriture complexe z' = (1 + i)z - 1 est la composée de la rotation de centre(0 ; - 1) et d'angle /4 et de l'homothétie de centre et de rapport (2).
Proposition : Soit A, B, A', B', quatre points du plan tels que A B et A' B'.
Il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'. Son rapport est A'B'/AB et son angle est (AB, A'B').
II. Similitudes planes indirectes:
Une transformation est une similitude plane indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme z' = a*z(barre) +b, où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul. Son rapport est |a|.
Ex. : La transformation d'écriture complexe z' = (1 + i) z(barre) -1 est une similitude indirecte. Son rapport est |1 + i| =(2)."/>
En fait ce que je n'arrive pas à justifier est le: "toutes" :triste:
Voici ce que j'ai dans mon cours sur les similitudes (dont l'écriture complexe):
Proposition : Une transformation f du plan est une similitude si et seulement s'il existe un réel k strictement positif tel que, pour tous points A et B d'images respectives A' et B', on a A'B' = kAB. Le réel k s'appelle le rapport de la similitude.
Ex. : - L'identité, les translations, les rotations, les symétries orthogonales sont des similitudes de rapport 1.
- Les homothéties de rapport k sont des similitudes de rapport |k|.
2. Propriétés
P1 : La composée de deux similitudes de rapports respectifs k et k' est une similitude de rapport kk'.
Remarque : La composition n'est pas commutative.
P2 : La réciproque d'une similitude de rapport k (k > 0) est une similitude
de rapport 1/k.
P3 : Toute similitude ayant deux points fixes distincts est soit l'identité du plan, soit une symétrie axiale.
3. Isométries
Définition : On appelle isométrie toute similitude de rapport 1. Remarque : Une isométrie est une transformation qui conserve les distances.
Proposition : La composée d'une isométrie et d'une homothétie de rapport k est une similitude de rapport |k|.
Ex. : Une translation, une rotation ou une symétrie axiale sont des isométries.
4. Classification des similitudes
Proposition : Une similitude conserve les angles géométriques.
Définition : Une similitude directe est une similitude qui conserve les angles orientés. Une similitude indirecte est une similitude qui transforme un angle orienté en son opposé.
II. Similitudes directes
1. Propriété caractéristique
Une transformation s est une similitude directe si et seulement si son écriture complexe est z' = az + b où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul.
Le rapport de la similitude est égal au module de a. L'angle de la similitude est un argument de a.
Proposition : Toute similitude plane directe autre qu'une translation admet un unique point invariant, appelé centre de la similitude.
Ex. : La similitude de centre
(0 ; - 1), de rapport (2)et d'angle /4 a pour écriture z' = (1 + i)z - 1.2. Théorème
Une similitude directe plane de rapport k et d'angle
est :- soit une translation si k = 1 et
= 0 ;- soit la composée dans un ordre quelconque d'une rotation de centre
et d'angle et d'une homothétie de centre et de rapport k.Elle admet alors une écriture complexe de la forme z' - = a(z - ) où |a| = k et arg a =
(2;)) et = Z;) Ex. : La similitude directe d'écriture complexe z' = (1 + i)z - 1 est la composée de la rotation de centre
(0 ; - 1) et d'angle /4 et de l'homothétie de centre et de rapport (2).Proposition : Soit A, B, A', B', quatre points du plan tels que A
B et A' B'.Il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'. Son rapport est A'B'/AB et son angle est (AB, A'B').
II. Similitudes planes indirectes:
Une transformation est une similitude plane indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme z' = a*z(barre) +b, où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul. Son rapport est |a|.
Ex. : La transformation d'écriture complexe z' = (1 + i) z(barre) -1 est une similitude indirecte. Son rapport est |1 + i| =
(2)."/>En fait ce que je n'arrive pas à justifier est le: "toutes" :triste:
par rmarie » 10 Mai 2013, 17:31
Désolée, petit problème de mise en forme, je re-poste:
Tout d'abord merci pour toutes vos réponses!
Voici ce que j'ai dans mon cours sur les similitudes (dont l'écriture complexe):
I. Généralités
1. Définition
On appelle similitude plane toute transformation du plan qui conserve le rapport des distances :
pour tous points A, B, C, D du plan tels que C ;) D, ((AB)/(CD ))= A'((B')/(C'))D'
Proposition : Une transformation f du plan est une similitude si et seulement s'il existe un réel k strictement positif tel que, pour tous points A et B d'images respectives A' et B', on a A'B' = kAB. Le réel k s'appelle le rapport de la similitude.
Ex. : - L'identité, les translations, les rotations, les symétries orthogonales sont des similitudes de rapport 1.
- Les homothéties de rapport k sont des similitudes de rapport |k|.
2. Propriétés
P1 : La composée de deux similitudes de rapports respectifs k et k' est une similitude de rapport kk'.
Remarque : La composition n'est pas commutative.
P2 : La réciproque d'une similitude de rapport k (k > 0) est une similitude
de rapport 1/k.
P3 : Toute similitude ayant deux points fixes distincts est soit l'identité du plan, soit une symétrie axiale.
3. Isométries
Définition : On appelle isométrie toute similitude de rapport 1. Remarque : Une isométrie est une transformation qui conserve les distances.
Proposition : La composée d'une isométrie et d'une homothétie de rapport k est une similitude de rapport |k|.
Ex. : Une translation, une rotation ou une symétrie axiale sont des isométries.
4. Classification des similitudes
Proposition : Une similitude conserve les angles géométriques.
Définition : Une similitude directe est une similitude qui conserve les angles orientés. Une similitude indirecte est une similitude qui transforme un angle orienté en son opposé.
II. Similitudes directes
1. Propriété caractéristique
Une transformation s est une similitude directe si et seulement si son écriture complexe est z' = az + b où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul.
Le rapport de la similitude est égal au module de a. L'angle de la similitude est un argument de a.
Proposition : Toute similitude plane directe autre qu'une translation admet un unique point invariant, appelé centre de la similitude.
Ex. : La similitude de centre ;)(0 ; - 1), de rapport ;)(2)et d'angle ;)/4 a pour écriture z' = (1 + i)z - 1.
2. Théorème
Une similitude directe plane de rapport k et d'angle ;) est :
- soit une translation si k = 1 et ;) = 0 ;
- soit la composée dans un ordre quelconque d'une rotation de centre ;) et d'angle ;) et d'une homothétie de centre ;) et de rapport k.
Elle admet alors une écriture complexe de la forme z' - = a(z - ) où |a| = k et arg a = ;) (2;)) et = Z;)
Ex. : La similitude directe d'écriture complexe z' = (1 + i)z - 1 est la composée de la rotation de centre ;)(0 ; - 1) et d'angle ;)/4 et de l'homothétie de centre ;) et de rapport ;)(2).
Proposition : Soit A, B, A', B', quatre points du plan tels que A ;) B et A' ;) B'.
Il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'. Son rapport est A'B'/AB et son angle est (AB, A'B').
II. Similitudes planes indirectes
Proposition
Une transformation est une similitude plane indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme z' = a*z(barre) +b, où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul. Son rapport est |a|.
Ex. : La transformation d'écriture complexe z' = (1 + i) z(barre) -1 est une similitude indirecte. Son rapport est |1 + i| = ;)(2).
En fait ce que je n'arrive pas à justifier est le: "toutes"
Tout d'abord merci pour toutes vos réponses!
Voici ce que j'ai dans mon cours sur les similitudes (dont l'écriture complexe):
I. Généralités
1. Définition
On appelle similitude plane toute transformation du plan qui conserve le rapport des distances :
pour tous points A, B, C, D du plan tels que C ;) D, ((AB)/(CD ))= A'((B')/(C'))D'
Proposition : Une transformation f du plan est une similitude si et seulement s'il existe un réel k strictement positif tel que, pour tous points A et B d'images respectives A' et B', on a A'B' = kAB. Le réel k s'appelle le rapport de la similitude.
Ex. : - L'identité, les translations, les rotations, les symétries orthogonales sont des similitudes de rapport 1.
- Les homothéties de rapport k sont des similitudes de rapport |k|.
2. Propriétés
P1 : La composée de deux similitudes de rapports respectifs k et k' est une similitude de rapport kk'.
Remarque : La composition n'est pas commutative.
P2 : La réciproque d'une similitude de rapport k (k > 0) est une similitude
de rapport 1/k.
P3 : Toute similitude ayant deux points fixes distincts est soit l'identité du plan, soit une symétrie axiale.
3. Isométries
Définition : On appelle isométrie toute similitude de rapport 1. Remarque : Une isométrie est une transformation qui conserve les distances.
Proposition : La composée d'une isométrie et d'une homothétie de rapport k est une similitude de rapport |k|.
Ex. : Une translation, une rotation ou une symétrie axiale sont des isométries.
4. Classification des similitudes
Proposition : Une similitude conserve les angles géométriques.
Définition : Une similitude directe est une similitude qui conserve les angles orientés. Une similitude indirecte est une similitude qui transforme un angle orienté en son opposé.
II. Similitudes directes
1. Propriété caractéristique
Une transformation s est une similitude directe si et seulement si son écriture complexe est z' = az + b où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul.
Le rapport de la similitude est égal au module de a. L'angle de la similitude est un argument de a.
Proposition : Toute similitude plane directe autre qu'une translation admet un unique point invariant, appelé centre de la similitude.
Ex. : La similitude de centre ;)(0 ; - 1), de rapport ;)(2)et d'angle ;)/4 a pour écriture z' = (1 + i)z - 1.
2. Théorème
Une similitude directe plane de rapport k et d'angle ;) est :
- soit une translation si k = 1 et ;) = 0 ;
- soit la composée dans un ordre quelconque d'une rotation de centre ;) et d'angle ;) et d'une homothétie de centre ;) et de rapport k.
Elle admet alors une écriture complexe de la forme z' - = a(z - ) où |a| = k et arg a = ;) (2;)) et = Z;)
Ex. : La similitude directe d'écriture complexe z' = (1 + i)z - 1 est la composée de la rotation de centre ;)(0 ; - 1) et d'angle ;)/4 et de l'homothétie de centre ;) et de rapport ;)(2).
Proposition : Soit A, B, A', B', quatre points du plan tels que A ;) B et A' ;) B'.
Il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'. Son rapport est A'B'/AB et son angle est (AB, A'B').
II. Similitudes planes indirectes
Proposition
Une transformation est une similitude plane indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme z' = a*z(barre) +b, où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul. Son rapport est |a|.
Ex. : La transformation d'écriture complexe z' = (1 + i) z(barre) -1 est une similitude indirecte. Son rapport est |1 + i| = ;)(2).
En fait ce que je n'arrive pas à justifier est le: "toutes"
par leon1789 » 10 Mai 2013, 22:12
ok, très bien.
Pour répondre à votre question, on peut utiliser plusieurs choses dans ce cours, par exemple ceci
Là, on voit qu'une similitude plane directe est une fonction
Comme
est non nul, on peut écrire 
avec r > 0.
Comment traduire géométriquement les fonctions
suivantes :
?
?
?
?
Mêmes questions pour les similitudes indirectes
: mais en bonus
Comment traduire géométriquement les fonctions suivantes :
?
?
?
?
?
Pour répondre à votre question, on peut utiliser plusieurs choses dans ce cours, par exemple ceci
rmarie a écrit:II. Similitudes directes
1. Propriété caractéristique
Une transformation s est une similitude directe si et seulement si son écriture complexe est z' = az + b où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul.
III. Similitudes planes indirectes
Proposition
Une transformation est une similitude plane indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme z' = a*z(barre) +b, où a et b sont deux nombres complexes, a étant non nul.
Là, on voit qu'une similitude plane directe est une fonction
Comme
Comment traduire géométriquement les fonctions
Mêmes questions pour les similitudes indirectes
Comment traduire géométriquement les fonctions
par Maxmau » 11 Mai 2013, 08:28
rmarie a écrit:Bonjour,
Dans le cadre d'un dossier que je fais sur les similitudes, je dois justifier la propositions suivante: "Toutes les similitudes sont engendrées par les réflexions et les homothéties". J'ai fait des recherches mais je n'ai rien trouvé de concluant.
Auriez-vous des éléments de réponse?
Merci par avance.
:hein:
Une similitude de rapport k composée avec une homothétie de rapport 1/k donne une isométrie
Une isométrie est composée de reflexions
d'où le résultat: une similitude de rapport k est composée d'une homothétie de rapport k et de réflexions
CE RESULTAT EST VALABLE EN DIMENSION QUELCONQUE
9 messages
- Page 1 sur 1
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 20 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :