En fait on appelle cette méthode la comparaison logarithmique tandis que le critère de Cauchy est appelé critère géométrique.
Pourquoi ?
Parce que si on a le critère de Cauchy u(n+1)/u(n) < a
ton v(n) sera tout trouvé, la suite v(n)=a^n marchera.
Maintenant avec le logarithmique.
u(n+1)/u(n)=1-a/n=(1+1/n)^(-a)=(1/n)^a/(1/(n+1))^a (il faut prendre mes égalités commes des à peu près, j'ai pas le courage de taper en LaTeX). Le "logarithmique" venant de la deuxième presque-égalité
Tu peux en déduire de quoi tu as besoin comme v(n) ? Et ensuite le prouver calmement ?
Si on pose , on vérifie que le critère logarithmique est bien vérifié et il reste à montrer que la série converge pour a > 1 (et du coup on aura la série convergente) ?
Mais le DL que j'ai, c'est le rapport u_(n+1)/u_n ... comment exploiter ce DL du coup ?
Raté ! Regarde bien ce que j'ai fait (qui est faux mais donne une idée), a priori il faut prendre v(n)=1/n^a. Essaie déjà ça. Si ça ne marche pas (je ne suis pas sûr que le choix soit optimal) essaie de comprendre pourquoi. Si tu ne comprends pas prends v(n)=1/n^b avec 1
Oui, je sais bien, ... Je dois étudier la convergence de la série v_n pour en déduire celle de u_n. Pour cela, je dois utiliser le DL de u_(n+1)/u_n, du coup je crée le rapport v(n+1)/v(n) et j'utilise le critère de d'Alembert ?
Si oui, avec , j'obtiens,
Et du coup,
Sauf que ça tend vers 1 et du coup, on ne peut rien dire ...
On a supposé a > 1 et on doit donc montrer qu'à partir d'un certain rang, cette différence est positive, et le conclusion s'en suivra. Sauf que la coeff de 1/n² n'est pas tout le temps positif et on a aucun lien entre a et c
D'ailleurs, j'ai un peu du mal avec les DL. Quand on veut comme ça déterminer "localement" (bon ici c'est plutot en +oo) le signe d'une fonction via son DL, pourquoi on ne prend pas en compte le o() ? Après tout, c'est une fonction qui rend vers 0 mais on ne sait rien de son signe, pourtant ça pourrait influer a priori sur les autres termes, ici en plus on a deux o() qui sont a priori des fonctions différentes
Ce que veut dire o(), c'est précisément : "à partir d'un certain moment ça ne sert plus à rien de le considérer à côté des termes qui sont dans la parenthèse, donc on peut MENTALEMENT l'effacer si on a des termes plus forts avant".
Attention : un o(n) n'est pas une fonction qui tend vers 0.
Sauf que si je prends d positif ou négatif, cela montre que la différence ne garde pas un signe constant à partir d'un certain rang et donc on ne peut conclure ?
Vupen a écrit:Ensuite, on nous demande d'étudier la convergence de u_n dans le cas où a = 1 en la comparant à una série de terme 1/(n+d) avec d réel bien choisi.
Sauf que si je prends d positif ou négatif, cela montre que la différence ne garde pas un signe constant à partir d'un certain rang et donc on ne peut conclure ?
Ici il fallait garder le b je pense. D'ailleurs ton o(1/n) absorbe le premier terme et le dernier o ! C'est ça que veut dire négligeable !
par Vupen » 14 Jan 2014, 20:09
converge il en est de meme pour la série de terme
