Séparabilité

[Trident]

Bonsoir,

on définit une relation d'équivalence ~ sur l'ensemble de tous les espaces métriques compacts. Si X et Y sont deux espaces métriques compacts, alors il existe une isométrie (surjective)

On note alors l'ensemble des classes d'équivalence d'espaces métriques compacts finis pour cette relation d'équivalence. Le but est de montrer que est séparable. La distance qu'on a défini sur est la distance de Gromov Hausdorff mais je ne pense pas que cela a un intérêt pour la suite de ma question.
Il est suggéré de faire la correspondance entre un espace métrique fini et un sous ensemble de l'espace des matrices symétriques de taille (donc un vecteur de )

On peut voir que l'application est bien définie et ne dépend pas du choix du représentant de (à condition que quand on prend un autre représentant Y de X et f : X -> Y, on écrit Y dans le "bon ordre" : mais bref, passons, c'est qu'un détail).

Mes questions sont les suivantes :

il est dit que comme est séparable, alors . Ok, mais il faut bien montrer que l'application est continue d'une part ? Et deuxième question : le problème c'est que , c'est pas juste les espaces métriques de taille N fixée mais ils peuvent être de taille aussi grande que souhaitée . Donc, faut-il faire une union d'espaces séparables ou un truc dans le genre ?
Merci !

[Doraki]

La distance qu'on a défini sur est la distance de Gromov Hausdorff mais je ne pense pas que cela a un intérêt pour la suite de ma question.

Comment veux-tu montrer qu'un ensemble est séparable si tu ne connais pas sa topologie !?!?!?

Sinon à part ça, tes classes d'équivalences ne sont pas des ensemble (parceque sinon tu peux prendre la réunion des espaces sous-jacents et ça te donne l'ensemble de tous les ensembles, avec tous les paradoxes qui s'ensuivent) donc tu ferais mieux de poser un "gros" ensemble U et de ne considérer que les espaces métriques dont l'espace sous-jacent est une partie de U.
Si U est infini ça ne va pas follement changer tes classes d'équivalence d'espaces métriques finis.

Ensuite tu parles d'associer à un espace métrique fini, un sous-ensemble de matrices, et juste après tu lui associes une matrice. Il faudrait savoir ce que tu veux ?

Pour la fin, oui, toute réunion dénombrable de sous-espaces séparables est un sous-espace séparable. C'est un théorème plutôt facile à démontrer.

[Trident]

Comment veux-tu montrer qu'un ensemble est séparable si tu ne connais pas sa topologie !?!?!?

Moi je la connais. Je n'ai pas jugé utile de la définir car dans ce cas, on va montrer que l'ensemble est séparable car on pourra le mettre en correspondance avec un espace séparable (c'est ce que semble vouloir l'auteur de cette proposition qu'il ne démontre pas totalement).


Ensuite, je me suis mal exprimé peut être. La construction de \mathfrak{k}, c'est pas moi qui l'ai inventée, c'est dans des notes de cours que je l'ai lu.
Je reformule de A à Z :

considérons l'ensemble de tous les espaces métriques compacts. On définit une relation d'équivalence. Si (X,d) et (Y,d') sont deux espaces métriques compacts, on dira qu'ils sont équivalents s'il existe une isométrie f : (X,d) -> (Y,d'). On quotiente cet ensemble par cette relation d'équivalence. Si [X] est une classe d'équivalence, alors les représentants de [X] sont des espaces métriques compacts qui sont isométriques.

On définit une distance entre deux classes [X] et [Y] appelée distance de Gromov Hausdorff. On montre que la distance définie ne dépend pas du choix des représentants et on montre qu'elle vérifie tous les axiomes de la distance. Le but est de montrer que l'ensemble des classes d'isométries muni de la distance de Gromov Hausdorff est séparable.
Pour cela, l'énoncé suggère de montrer que l'ensemble des classes d'isométries d'espaces métriques compacts finis est une partie dense.

J'ai réussi à montrer ceci. C'est à dire que pour toute classe [X] et tout epsilon> 0, il existe un espace métrique compact fini J tel que la distance de gromov hausdorff entre [X] et [J] est inférieure à epsilon.

La deuxième étape consiste à montrer que l'ensemble des classes d'isométries d'espaces métriques compacts finis est séparable.
Pour cela, il serait bien selon moi (me trompe-je ?) de trouver une application continue qui à [X] (classe d'isométrie d'espace fini) associe un truc. L'espace d'arrivé doit être séparable.

Pour moi, j'ai pensé à dire que les classes d'isométries d'espaces métriques compacts finis est égal aux classes d'espaces finis de cardinal 1 union ceux de cardinal 2 union etc....
Puis d'associer chacune de ces classes à un sous ensemble de matrices.

Ensuite tu parles d'associer à un espace métrique fini, un sous-ensemble de matrices, et juste après tu lui associes une matrice. Il faudrait savoir ce que tu veux ?

La tu as raison, je me suis embrouillé. J'ai dis un peu n'importe quoi.

[Doraki]

il est dit que comme est séparable, alors . Ok, mais il faut bien montrer que l'application est continue d'une part ?

Oui (et là il va bien falloir que tu parles de la distance de Gromov) mais même, ça ne suffit pas de montrer que l'application est continue.
Si l'image de l'application avait été un ouvert de R^N² ça aurait été facile, mais ça n'est même pas le cas (en fait, c'est même pas vrai ce que je dis)

[Trident]

Oui (et là il va bien falloir que tu parles de la distance de Gromov) mais même, ça ne suffit pas de montrer que l'application est continue.
Si l'image de l'application avait été un ouvert de R^N² ça aurait été facile, mais ça n'est même pas le cas.

Oui pour la continuité, je devrais utiliser Gromov en effet, mais ça devrait pas trop poser de problèmes.
De façon générale, si f: X -> Y est une application continue bijective entre espaces metriques et si Y est separable, on ne peut pas dire que X l'est?
Si D est une partie dense dénombrable de Y, alors f^(-1)(D barre) est un fermé de X comme image reciproque d un fermé et contient f^(-1)(D) donc adherence ( f^(-1)(D)) inclus dans f^(-1)(D barre) = f^(-1)(Y) = X. De plus, f^ (-1)(D) est dénombrable.

[Doraki]

Oui pour la continuité, je devrais utiliser Gromov en effet, mais ça devrait pas trop poser de problèmes.
De façon générale, si f: X -> Y est une application continue bijective entre espaces metriques et si Y est separable, on ne peut pas dire que X l'est?
Si D est une partie dense dénombrable de Y, alors f^(-1)(D barre) est un fermé de X comme image reciproque d un fermé et contient f^(-1)(D) donc adherence ( f^(-1)(D)) inclus dans f^(-1)(D barre) = f^(-1)(Y) = X. De plus, f^ (-1)(D) est dénombrable.

Bravo, tu as montré ... que l'adhérence de f^-1(D) est ... incluse dans .. X ....

Non, l'identité : (R,topologie discrète) --> (R,topologie grossière) est bijective continue, et (R,topologie grossière) est séparable mais pas (R,topologie discrète).
(et en l'occurence ton application n'est pas bijective)

[Trident]

Ah oui je dis vraiment n'importe quoi.... :mur:
Bon, merci quand même pour l'aide, j'y réfléchirai encore plus sérieusement.