Rotation de moment quadratique

[Ombre31]

Bonjour,

Je suis étudiant-ingénieur (actuellement en stage de fin d'étude), et je travaille sur les flexion d'une planche suivant son "tilt" (c'est-à-dire que la section de la poutre initialement est un rectangle, mais que je fais tourner cette section d'un certain angle pour obtenir une sorte de losange).



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Le moment quadratique d'une section rectangulaire (suivant z dans mon cas) est de la forme (l*e*e*e)/12 avec l la largeur et e l'épaisseur. Comme je fais tourner cette planche, mais que je garde le même axe pour le moment quadratique, j'ai cherché à recalculer celui-ci. Virtuellement, ça revient au même que de faire tourner le repère en gardant la section fixe (soit je fais tourner la section dans un repère fixe, soit je fais tourner le repère en gardant la section fixe).

J'ai trouvé cette formule de rotation du moment quadratique : http://solennepro.free.fr/RSA2/co/secti ... utres.html (section "Repère principal") et http://public.iutenligne.net/sciences-d ... ue_13.html (pour voir les démo)

Iz' = [(Iz+Iy)/2] + [(Iz-Iy)/2]*cos(2*angle) + Iyz*sin(2*angle)

J'étais très content jusqu'à ce que je me rende compte que... cette formule ne marche pas ! Lorsque e=l, on a Iz=Iy (Iyz = 0 car mon axe passe par le centre de gravité de la section carré, et du fait de la symétrie...) et donc Iz' = Iz, peu importe l'angle que l'on met !

Autrement dit : j'ai une section carré de 2*2, je calcule son moment quadratique Iz. Je fais tourner cette section de 45° (j'ai donc un losange) et... j'ai le même moment quadratique ?? Cela voudrait dire que le comportement en flexion de ma poutre est le même peu importe l'angle, ce qui physiquement n'est pas du tout le cas... Intuitivement, on se rend bien compte que la poutre devrait fléchir moins à 45° qu'à 0°, donc son moment quadratique devrait être plus grand.

En bref, je ne sais pas trop où se trouve mon erreur (ni si je suis très clair d'ailleurs), mais j'apprécierai beaucoup un peu d'aide s'iou plait

[Ben314]

Salut,

Cela voudrait dire que le comportement en flexion de ma poutre est le même peu importe l'angle, ce qui physiquement n'est pas du tout le cas... Intuitivement, on se rend bien compte que la poutre devrait fléchir moins à 45° qu'à 0°, donc son moment quadratique devrait être plus grand.

J'ai pas regardé les calculs (qui sembles "bénins"), mais concernant le coté "intuitif" qu'une poutre de section carré fléchit moins facilement lorsqu'elle est à 45° que si elle est à 0°, ben perso, ça me semble tout sauf évident.
Bon, évidement, je suis pas physicien mais matheux (et en plus, math. pures uniquement), mais d'un autre coté, j'ai pas mal bricolé dans ma vie, en particulier j'ai très souvent utilisé des tasseaux de bois de section carré et de les manipuler, ça m'aurais plutôt conduit à conjecturer qu'ils ont le même fléchissement quelque soit l'angle qu'on leur donne. Donc mon "intuition" sur la question, ben ça aurait été exactement l'inverse de la tienne...

Et si tu as rien d'autre à f... va à Casto acheter un tasseau de 30x30 (mm) sur 3m (ça coûte que dalle) et regarde comment il se comporte en fléchissement pour voir (tu le fixe d'un coté et tu attache un poids un peu lourd de l'autre pour mesurer le fléchissement)

[pascal16]

Ben, si une poutre est de section rectangulaire, elle se déforme moins si elle est posée "dans le sens de sa hauteur" qu'à plat (avec une formule en bh^3 il me semble)

La section carrée posée à plat a une hauteur plus faible que disposée à 45°, elle se déformera moins.
en calcul direct, les intégrale vont de -e/sqrt(2) à +e/sqrt(2)

[edit] : j'ai le même résultat ( e⁴/12) , la formule serait donc juste.

[Ombre31]

C'est l'inverse pascall6, non ?

Plus la hauteur est forte par rapport à la largeur, moins la poutre se déformera facilement. Faible hauteur et forte largeur -> forte déformation (flèche importante). Forte hauteur et faible largeur -> faible déformation (petite flèche).

Après il est vrai que je suis peut-être allé un peu vite en me fiant à mon intuition... l'erreur vient peut-être de là. Peut-être que les calculs sont corrects après tout... mais tout de même, j'arrive pas à m'ôter de l'esprit que c'est bizarre

[EDIT] Bon, si une deuxième personne ayant fait les calculs me dit que c'est correct... a priori ça doit l'être

[Ben314]

La section carrée posée à plat a une hauteur plus faible que disposée à 45°, elle se déformera moins.
en calcul direct, les intégrale vont de -e/sqrt(2) à +e/sqrt(2)

Moi, perso, ça me parait zéro clair de chez zéro clair ce truc là (sur le plan intuitif) :
- Pour une surface (de la section) donnée et rectangulaire (avec des cotés parallèles aux axes), il est intuitivement clair que plus la hauteur augmente (c'est à dire plus la largeur diminue), plus la "rigidité" sera grande : on le vois super facilement avec une planche fine et large.
Sauf que, avec le tasseau de 30x30, en la mettant à 45°, certes, tu augmente la hauteur, mais tu augmente aussi la largeur donc je ne vois aucun "argument intuitif" pour savoir si la rigidité va augmenter ou pas.

Bref, tout ça pour dire que le calcul fait par Ombre31 qui conclue au fait que la rigidité d'un truc de section carré est la même quelque soit l'angle, ça ne ME semble pas du tout contre intuitif (mais bon, l'intuition on a chacun la sienne qui dépend de son expérience et là, la mienne, c'est clairement de mon expérience de bricoleur que je la tire...)

Et sinon, je le (re)dit, c'est pas de l'expérience diaboliquement compliqué à réaliser : un tasseau de bois "bien régulier" (sans nœud par exemple) + un serre joint + une table bien lourde pour fixer 20cm du tasseau et laisser 2m dans le vide + une ficelle et un poids attaché au bout pour le tordre + un mètre pour mesurer la flexion (en partant du sol) = on verra bien...
(et ce qui m'est arrivé de nombreuses fois, c'est d'avoir un tasseau fixé à un bout dans un étau et de tenir à la main le bout libre à 2m de là sans avoir l'impression qu'on pouvait le déformer plus facilement dans certaines directions que dans d'autres)

P.S. Sinon, effectivement, les calculs sont parfaitement corrects : pour une section carrée de , quelque soit l'angle, le "moment quadratique", c'est . Par contre, n'étant pas physicien, je peux pas te dire si le "moment quadratique" (avec son intégrale) c'est bien exactement ça qui mesure, "l'aptitude à la flexion" du bidule.

[Ombre31]

Après réflexion, y'a du vrai dans ce que tu dis Ben21 (le fait que dans le cas du carré, en tournant tu changes la hauteur mais aussi la largeur dans les mêmes proportions). Donc le calcul doit être bon... je suis en train de calculer le moment quadratique avec les intégrales doubles (c'est ignoble mais ça se fait... je pense) pour voir si je retombe sur le même résultat mais je pense que ça sera le cas.

Comme quoi, math > intuition