Règle de Raabe-duhamel

[Anonyme]

Bonjour,

je cherche à comprendre cette **$$* de règle :)

Voilà, j'ai bien compris qu'elle servait à lever l'indétermination de la règle en U(n+1)/Un

J'ai la formule en :
Un+1 a
_____= 1 + ___ + O(1/n)
Un n

Mais je ne sais pas comment on y arrive! Je suppose qu'il s'agit de développement limité.

Exemple:

(n²+3n+1)/(n²+4n+2) = 1+3/n-4/n+ O(1/n)

Comment est-on parvenu à un tel miracle???

Merci d'avance !

[Nightmare]

Bonjour

Ici ce n'est pas un développement limité mais ce que l'on appelle un développement asymptotique.

as-tu déja entendu parlé de cela ?

:happy3:
Jord

[Anonyme]

Chocking!!! Non, j'avoue mon incrédulité et mon ignorance devant ta réponse : je n'ai jamais entendu parlé de cela!!!!

[Anonyme]

(n²+3n+1)/(n²+4n+2)
=(1+3/n+1/n²)/(1+4/n+2/n²) (mise n² en facteur)
=(1+3/n+1/n²).(1+4/n+2/n²)^(-1)
=(1+3/n+1/n²).(1-4/n-2/n²)+o(1/n) (dl ordre 1)
=1-4/n+3/n+o(1/n)

[thomasg]

Bonjour,

il me semble, d'près le livre que j'ai consulté (Gourdon p 208), que cette règle sert à trouver un équivalent en k/n^a à la suite Un, cela servant notamment à déterminer la nature de la série de terme général Un lorsque a>1.

je remarque également (d'après la démonstration donnée dans le livre) que ton énoncé du théorème semble faux.

[RadarX]

Bonjour,
Duhamel, c'est vieux dans ma tete! Et je ne comprend pas non plus exactement ce que tu veux.
Toujours est-il que j'ai l'exposé suivant:

Si on pose Vn = 1/(n^a), alors Vn+1/Vn = (1 + 1/n)^(-a) = 1 - a/n + O(1/n²), ce qu'on obtient en utilisant un developpement de (1+u)^(-a) au voisinage de u =0.

Ensuite on a le lemme suivant:
Si (Un)n est une suite de nb positfs telle que Un+1/Un = 1 - b/n + o(1/n) (b= cte) alors:
-si b>1, la serie somme(Un) est cvgte
-si b<1, la serie somme(Un) est dvgte.

Et ce lemme se prouve en etudiant au moyen d'un developpement asymptotique le la difference (Vn+1/Vn) - (Un+1/Un)...
Si cela peut t'avancer... tant mieux!

RadarX