Règle de l'hôpital

[Doraki]

Je me souviens qu'au lycée ça m'arrivait de faire apparaître la définition de la dérivée exprès pour calculer certaines limites.
Entre ça, utiliser la règle de l'hopital, ou utiliser des DLs, je vois pas la différence.
Après faut juste savoir ce qu'on trouve le plus beau, personnellement j'trouve plus classe de faire sortir les facteurs (x-a) (ou sin (x-a)) et les faire s'annuler entre eux pour faire apparaitre le résultat que de dire "j'applique la règle de l'hopital et ça donne ça".
Pour un élève c'est aussi plus transparent vu que ça n'utilise que des trucs qu'il connaît bien.

[leon1789]

Je me souviens qu'au lycée ça m'arrivait de faire apparaître la définition de la dérivée exprès pour calculer certaines limites.
Entre ça, utiliser la règle de l'hopital, ou utiliser des DLs, je vois pas la différence.

bon exemple :

Etudier la limite en 0 de
En dérivant une seule fois, il ne vient rien : le taux d'accroissement ne sert à rien.
Pour que la règle de l'Hôpital donne quelque chose, il va falloir dériver un certains nombres de fois : c'est possible mais bon courage !
En revanche, avec un DL (ou des équivalents devrait-on dire), c'est instantané...

Tu ne vois pas de différence ?

Après faut juste savoir ce qu'on trouve le plus beau, personnellement j'trouve plus classe de faire sortir les facteurs (x-a) (ou sin (x-a)) et les faire s'annuler entre eux pour faire apparaitre le résultat que de dire "j'applique la règle de l'hopital et ça donne ça".
Pour un élève c'est aussi plus transparent vu que ça n'utilise que des trucs qu'il connaît bien.

je suis d'accord.

[Doraki]

Etudier la limite en 0 de

J'en veux bien un autre =).

Mais c'est vrai, une bête utilisation de la règle sur cet exemple est assez lamentable.
La règle est trop rigide pour être applicable confortablement et n'est qu'un cas particulier de ce genre de manip et des DLs, ça conforte mon opinion.

[leon1789]

J'en veux bien un autre =).

oui ok, le indique la piste du .

Mais c'est vrai, une bête utilisation de la règle sur cet exemple est assez lamentable.
La règle est trop rigide pour être applicable confortablement et n'est qu'un cas particulier de ce genre de manip et des DLs, ça conforte mon opinion.

C'est un exemple un peu extrême, mais qui montre bien les limites (si on peut dire, vu le sujet :we: ) de la règle de l'Hôpital. C'est exactement le même problème quand on veut obtenir un DL en utilisant uniquement la définition avec les dérivées : c'est rapidement infaisable, et il faut absolument savoir manipuler des DL de fonctions élémentaires pour en déduire des DL de fonctions plus compliquées.

Cela dit, il me semble que les étudiants aiment bien (quand ils connaissent !) utiliser la règle de l'Hôpital car ils préfère (je crois) utiliser un théorème plutôt que d'utiliser ce qui leur paraît être une astuce qu'ils imaginent introuvable (comme le coup du au-dessus).
...astuce qu'ils imaginent introuvable, bien que ce soit en fait des techniques classiques utiles dans bcp de circonstances ! Mais (peut-être) par manque de pratique, il ne les connaissent pas, et préfèrent un bon petit théorème style règle de l'Hôpital à appliquer (même si cela ne fonctionne pas à tous les coups, et tant pis pour ces cas-là...)

[Black Jack]

Vive la règle du Marquis.

Ce n'est pas parce qu'il est possible de se passer d'un outil en se servant d'un autre qu'il faut le jeter aux ordures.

Il ne sert à rien de chercher des exemples où l'une ou l'autre méthode est plus rapide et d'en conclure que la moins rapide dans ce cas précis ne doit plus être utilisée.

On trouvera des exemples multiples ou une méthode (n'importe laquelle) est plus efficace qu'une autre (n'importe laquelle).

Dans certains cas, la règle du Marquis (de Lhospital) est très rapide et ne pas l'utiliser alors n'est tout simplement qu'un manque d'efficacité.

Je n'ai jamais compris pourquoi la règle de Lhospital n'était souvent pas aimée des mathématiciens, alors qu'elle est souvent très prisée des ingénieurs.

... Peut-être qu'ils nont pas la même opinion sur l'efficacité ?

:zen:

[leon1789]

Vive la règle du Marquis.

Ce n'est pas parce qu'il est possible de se passer d'un outil en se servant d'un autre qu'il faut le jeter aux ordures.

je suis d'accord.

Il ne sert à rien de chercher des exemples où l'une ou l'autre méthode est plus rapide et d'en conclure que la moins rapide dans ce cas précis ne doit plus être utilisée.

oui, mais ne pas chercher d'exemple et dire que > ne sert pas à grand chose non plus...

On trouvera des exemples multiples ou une méthode (n'importe laquelle) est plus efficace qu'une autre (n'importe laquelle).

Dans certains cas, la règle du Marquis (de Lhospital) est très rapide et ne pas l'utiliser alors n'est tout simplement qu'un manque d'efficacité.

Logiquement faux car il peut y avoir plusieurs méthodes efficaces pour un même problème. Refuser la règle du marquis et préférer une autre technique efficace n'est pas blâmable a priori.

[Maxmau]

Bj à tous

Un petit rappel :
La règle de l’Hôpital appliquée en cascade permet d’établir de façon très simple la formule de Taylor Young et donc les DL bien connus

[Imod]

Alors en plus la règle de l'Hôpital est d'un grand intérêt théorique , c'est vraiment du grand n'importe-quoi !!!

Imod

[leon1789]

Bj à tous
Un petit rappel :
La règle de l’Hôpital appliquée en cascade permet d’établir de façon très simple la formule de Taylor Young et donc les DL bien connus

Ca, c'est de la théorie.
Mais dans la pratique, ça m'étonnerait : dériver 1 fois, pas de problème, 2 fois passe encore, mais 3 , 4 , 5 fois consécutivement, non merci pas pour moi
(surtout si c'est uniquement pour connaitre une seule valeur de !) .

Il me semble que si on apprend à manipuler les DL (et les équivalents), c'est, entre autres, pour éviter ce genre de calculs laborieux qui débarquent après une cascade de dérivations. Non ?

[leon1789]

Alors en plus la règle de l'Hôpital est d'un grand intérêt théorique , c'est vraiment du grand n'importe-quoi !!!
Imod

Take it easy Imod.

J'avoue qu'il m'est arrivé de faire appel à la règle du marquis pour expliquer à un lycéen comment calculer une limite (parce que j'avais la flemme de lui balancer la notion d'équivalent). C'est vrai qu'elle se retient bien... c'est un avantage.

Mais je n'aime pas non plus qu'on l'invoque quand on peut simplement parler de taux d'accroissement par exemple.

[Black Jack]

Refuser la règle du marquis et préférer une autre technique efficace n'est pas blâmable a priori.

Certes, ce que j'ai dit est que si on dispose de plusieurs armes à son arsenal, il faut utiliser la plus efficace pour résoudre le problème posé.

Si dans un cas donné d'indétermination, la règle de Lhospital est la plus rapide pour la lever, il faut l'utiliser. (A condition bien entendu qu'elle ait été enseignée au niveau où on est).

Tout comme si dans un cas donné d'indétermination, le passage par les DM est le plus rapide pour la lever, il faut les utiliser.

Pareil pour les autres méthodes.

:zen:

[Maxmau]

Bj en réponse à leon1789

Il faut bien établir la formule de Taylor Young quelque part.
Je dis simplement qu'une façon d'établir cette formule de Taylor Young est d'utiliser la règle de l'Hôpital en cascade.

Par ailleurs, cette règle marche bien dans certains cas (lorsque les fonctions se dérivent bien) et les étudiant adorent sans doute parce que la technique est facile à mémoriser. D'autre part esthétiquement parlant, ce résultat est assez joli. La technique des DL est, bien entendu, plus puissante et représente un progrès. C'est ce progrès qu'il faut montrer aux étudiants.

[Imod]

Certes, ce que j'ai dit est que si on dispose de plusieurs armes à son arsenal, il faut utiliser la plus efficace pour résoudre le problème posé.

Souvent pour montrer l'intérêt d'une méthode on construit artificiellement un exemple significatif : quel est cet exemple ? Je crains que cette règle n'encombre les têtes de nos élèves et étudiants pour pas grand-chose , alors pourquoi la garder ?

Personnellement je ne l'ai jamais utilisée et elle ne me manque pas !!!

Imod

[leon1789]

Personnellement je ne l'ai jamais utilisée et elle ne me manque pas !!!

C'est exactement ce que me disait ma mère avant qu'elle se mette à internet. On dit ça quand on ne connaît pas le luxe... mais une fois qu'on y a goûté, on ne peut plus s'en passer ! :ptdr: Fais gaffe, demain (un dimanche comme un autre) tu vas peut-être tomber amoureux fou de cette règle : un coup de foudre, ça ne se prévoit pas !

Plus sérieusement, cela ne peut justifier que la règle est sans intérêt.
Mais ce dont j'ai peur avec cette règle, c'est qu'on l'utilise comme un marteau sur de la porcelaine. Là, c'est vraiment dommage.

[Euler911]

Bonjour,

Je profite de cette discussion pour vous demander ceci:

Comment calculer , sans la règle de l'Hospital?
J'ai essayé de trouver une alternative, en vain...

[leon1789]

Comment calculer , sans la règle de l'Hospital?
J'ai essayé de trouver une alternative, en vain...

première alternative (avec une sacrément bonne formule trigo) :


deuxième (avec les équivalents) :


troisième :

et là, on parle de taux d'accroissement et de fonctions dérivables en 0 (uniquement !)

[Skullkid]

et la définition de la dérivée.

Edit : grillé, comme toujours !

[Euler911]

première alternative (avec une sacrément bonne formule trigo) :

On simplifie par arc, c'est ça? :ptdr: Plus sérieusement, quelle est ladite formule?

deuxième (avec les équivalents) :

:hein: si tu le dis...

troisième :

et là, on parle de taux d'accroissement et de fonctions dérivables en 0 (uniquement !)

ça par contre... j'aurais du y penser... :marteau: !

Merci, merci!

[Euler911]

Je suis vraiment le dernier des imbé***, ladite formule n'existe pas;)

[leon1789]

On simplifie par arc, c'est ça? :ptdr: Plus sérieusement, quelle est ladite formule?

tu l'as dit : on simplifie par arc . C'est une petite blague en passant. :we:

:hein: si tu le dis...

Là, c'est les équivalents : tu ne les as pas encore étudiés, mais ça va venir.

Au voisinage de 0,
sin(x) est équivalent à x (c'est la limite sin(x)/x tendant vers 1 ) , donc sa réciproque aussi. Idem pour tan(x) et arctan(x).