Regle de l'hopital

[constance]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un DM,
la question est la suivante:
Expliquer pourquoi la règle de l’Hôpital ne permet pas de calculer les deux limites suivantes :
lim (√(x^2 + 1 ))/x
x→+∞
et lim (sin(x) + 2 x) /( cos(x) + 2 x)
x→+∞

Pour moi, la première fonction tend bien vers +∞ pour le dénominateur et le numérateur donc je ne comprend pas pourquoi on ne peut pas appliquer la règle de l'hôpital.
J'ai mis le DM en fichier joint si jamais c'est plus compréhensible comme cela.

[aviateur]

Bjr
C'est quoi la règle de l'Hopital?
D'autre part, je ne comprends pas le sens de la question pour des calculs de limites où le résultat est évident.

[constance]

La règle de l'hôpital est flou même pour moi, mais voici en gros le principe,
La règle de L'Hospital permet de lever des indéterminations du type
0/0 ou ∞/∞
Autrement dit, elle permet de déterminer
lim u(x)/v(x), si lorsque x tend vers c, u(x) ET v(x) tendent vers 0 ou vers ±∞.
x→c ⁡

Selon cette règle, si la limite lim u′(x)/v′(x) existe alors:
x→c
lim u(x)/v(x) = lim u'(x)/v'(x)
x→c x->c

J'ai bien vu que le résultat de la limite est calculable sans cette règle il suffit de factoriser pour la première etc..
Ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi on ne peut pas l'appliquer comme le demande la question.

[aviateur]

Bon, de toute façon on peut toujours répondre mais franchement je ne vois pas pourquoi j'essaierai d'utiliser cette règle (à moins d'être tordu).
Dans le premier cas f'(x)/g'(x) =g(x)/f(x) donc chercher à appliquer la règle ne sert à rien.
Dans le deuxième cas f'(x)/g'(x) n'a pas de limite.

Maintenant une règle ne doit jamais être employée de façon floue. Au risque de se tromper.
Donc pour l'utiliser il vaut mieux bien connaître la règle.

[Yezu]

Salut,

C'est justement ce que demande l'énoncé aviateur.

[Black Jack]

lim(x-->+oo) [(√(x^2 + 1 ))/x] est une indétermination oo/oo --> Lhospital

= lim(x-->+oo) [x/(√(x^2 + 1 ))] est une indétermination oo/oo --> Lhospital

= lim(x-->+oo) [1/(x/V(x²+1))] = lim(x-->+oo) [(√(x^2 + 1 ))/x] et donc on est revenu au début ... cela tourne en rond par Lhospital

--> Lhospital ne permet pas de calculer lim(x-->+oo) [(√(x^2 + 1 ))/x]

[Black Jack]

Pour le 2ème, c'est un peu plus subtil.

Si on tente d'utiliser Lhospital, on n'applique pas la règle initiale de Lhospital mais une de ses généralisations ...

Et avec ces formes généralisées, il existe des cas où la limite du quotient des dérivées n'existe pas alors que pourtant la limite du quotient des fonctions existe.

C'est le cas pour le 2ème exercice.

Il y a des explications sur le sujet sur ce lien : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gl ... C3%B4pital

Evidemment, le 2 ème exercice présenté est tiré par les cheveux, la valeur de la limite saute au yeux sans besoin de la règle du génial Marquis.