Récurence

[Este]

Bonjour,
je bloque sur un exercice de suite de fonctions que voici :
On pose f(x)= -ln(1+x)+(1+ln(2))/2 pour tout x appartenant à [0;1]

Dans l'exercice j'ai montré que f est décroissante, que f(x)appartient à [0;1] pour tout appartenant à [0;1]
Ensuite on pose u_0 et, pour tout n appartenant à N, u_n+1=f(un)
et je dois montrer que pour toutn appartenant à N on a u_2n<=u_2n+1
ce que je n'arrive pas à faire

[Pseuda]

Bonsoir,

As-tu calculé u_1 ?

[Este]

Oui : u_1=f(u_0)=f(0)=(ln(2)+1)/2

[Pseuda]

Peux-tu ranger u_0 et u_1 ?

[Pseuda]

Oui bon, 0 = u_0 < u_1.

Dès lors, comme u_1=f(u_0), et u_2=f(u_1) et que f est décroissante, tu peux ranger u_1 et u_2.

[Este]

Oui car j'ai prouvé que (ln(2)+1)/2>0
donc u_1>u_0

[Pseuda]

Petite indication : comme f est décroissante, comment est f² (=fof) ?

[Este]

Aucune idée je nia jamais vu cette notation

[Pseuda]

Alors, on va rester sur f seulement.
On a : u_0 < u_1. Comme f est décroissante, alors f(u_0) >= f(u_1).
Or, f(u_0)=u_1 et f(u_1)=u_2, on peut donc ranger u_1 et u_2 (c'est-à-dire mettre un signe <= ou >= entre les 2).

Etc... on peut ranger u_2 et u_3, puis u_3 et u_4, .... Vois-tu venir quelque chose ?

[Este]

oui comme la fonction f est décroissante, la suite (un) définit par u_n+1=f(un) est aussi décroissante ?

[Pseuda]

oui comme la fonction f est décroissante, la suite (un) définit par u_n+1=f(un) est aussi décroissante ?

Bonjour,

Non, ce n'est pas parce que est décroissante que la suite est décroissante. (ce n'est pas non plus parce que serait croissante que la suite serait croissante).

Le fait que est décroissante dit que les images sont rangées dans l'ordre inverse de leurs antécédents : si b, alors . Cela compare les images entre elles.

Et le fait que est décroissante dit que . Cela compare une valeur avec son image.

Par contre, si est croissante, et que :
, alors , soit , etc..., donc est croissante.
, alors , soit , etc..., donc est décroissante.

Si est décroissante, c'est un peu plus compliqué.

[Este]

Donc si je comprends bien, si f est décroissante et que

u_0>=u_1, alors f(u_0)<=f(u_1), soit u_1<=u_2 , etc..., donc (u_n) est croissante.
u_0<=u_1, alors f(u_0)>=f(u_1) soit , u_1>=u_2 etc..., (u_n) donc est décroissante.

[Pseuda]

Donc si je comprends bien, si f est décroissante et que

u_0>=u_1, alors f(u_0)<=f(u_1), soit u_1<=u_2 , etc..., donc (u_n) est croissante.
u_0<=u_1, alors f(u_0)>=f(u_1) soit , u_1>=u_2 etc..., (u_n) donc est décroissante.

Bonjour,

Ah je t'ai oublié. Si est décroissante, ce n'est pas ça. Supposons, comme c'est le cas dans ton exercice, que : . On a alors successivement :

(inversion de l'ordre car est décroissante)
(de nouveau, inversion de l'ordre)
("")


etc...

Que remarques-tu pour et quand est pair ?

Petite précision importante : tu as montré plus haut que l'intervalle [0,1] est stable par (c'est-à-dire l'image par d'un élément de [0,1] est dans [0,1]). Comme , cela veut dire que tous les sont dans [0,1], et qu'on peut bien obtenir ainsi tous les .

[Este]

Bonjour,
Ce n'est pas grave, c'est moi qui ait mis du temps a répondre
Et quand je n est pair, j'ai l’impression que u_n<u_n+1 c'es ça ?

[Pseuda]

Bonsoir,

Oui c'est ce qu'on exprime avec . Il ne reste plus qu'à le démontrer pour tout .

---------------------------> par récurrence.