Ramification

[Pikachue]

Bonjour,

J'ai besoin d'un peu d'aide pour comprendre une partie d'une démonstration sur théorie de la ramification. C'est un sujet que je trouve très difficile, et c'est le sujet de mon mémoire de master 1. Je bloque sur la même démonstration depuis environ un mois, et mon prof n'est pas en France en ce moment...

Voici le lien du PDF sur lequel je travaille : http://www1.spms.ntu.edu.sg/~frederique/antchap3.pdf
Il s'agit de la proposition 3.3 de la page 33.
Tout à la fin de la preuve, à la page 34, on a n = ... et une série d'égalité.
J'aimrais savoir pourquoi la somme des e_i deg(phi_i) est égale à la dimension de A sur F_p, et pourquoi cette même dimension est égale à celle Z^n/pZ^n, et pourquoi ceci est égale à n.

Je ne m'attends pas à beaucoup de réponses, étant donné que je lâche ça un peu comme une bombe, mais je ne peux pas refaire toute la théorie qu'il y a avant, ni reprendre toute la preuve sur ce forum

Bonne journée.

[L.A.]

Bonjour,

1) A est le produit des espaces F_p[X]/(\phi_i)^(e_i) dont la dimension sur F_p est le degré de (\phi_i)^(e_i) soit e_i deg(\phi_i)

2) On utilise A = O/pO et on sait que O est isomorphe à Z^n en tant que Z-module (page 30 :"O_K is a free abelian group of rank n")

3) On vérifie que Z^n --> (Z/pZ)^n est surjective de noyau pZ^n d'où Z^n/pZ^n = F_p^n.

[Pikachue]

Bonjour, merci beaucoup pour votre aide.

Pour la deuxième égalité, j'ai commencé à voir les modules ce semestre, et c'est donc encore une notion un peu flou pour moi.
J'aimerais savoir si j'ai bien compris :
O est isomorphe à Z^n en tant que Z-module car abélien de rang n, mais ça n'implique pas que O est isomorphe à Z^n "tout court", n'est-ce pas?
Par contre on a quand même l'égalité des dimensions, avec un isomorphisme entre Z-modules, c'est bien ça?

[L.A.]

Désolé, je vais essayer d'être plus clair... En fait un Z-module ce n'est rien de plus qu'un groupe abélien, d'ailleurs page 30 il est bien dit "free abelian group of rank n". Ca veut donc dire que O est isomorphe en tant que groupe à Z^n. On vérifie que l'image de pO est forcément pZ^n par cet isomorphisme et donc O/pO est isomorphe à Z^n/pZ^n en tant que groupes.

On veut maintenant vérifier que leur dimension sur F_p est la même. C'est assez évident en fait puisque ces deux groupes sont finis et en bijection, mais encore faut-il se convaincre que ce sont bien des F_p espaces vectoriels. On peut définir une loi de composition externe

(Z/pZ)x(O/pO) --> O/pO

par [k].[x] = [kx] et définir une loi analogue sur Z^n/pZ^n, puis vérifier que notre isomorphisme de groupes est bien F_p-linéaire.

[Pikachue]

Merci beaucoup, c'est plus clair maintenant! :)