Racines complexes

[victen]

Bonjour, :help:

J'ai besoin d'aide sur un exercice déjà pas mal avancé;

Résoudre dans C de DEUX manières differentes l'equation z^2=1+i
En déduire cos(pi/8), sin(pi/8) et tan(pi/8) :hum:

J'ai réussis à resoudre z dans C en posant z=x+iy
z^2=(x+iy)^2=X^2-y^2+2ixy

en separant partie imaginaire et partie réelle: x^2-(1/2x)^2=1
J'obtiens à la fin en resolvant le polynome 4x^4-4x^2-1=0

z=+(ou -)(;)((1+;)2)/2)+i/(;)2 ;)(1+;)2) ))

Merci de m'aider à trouver la 2ème méthode afin de pouvoir determiner cos(pi/8), sin(pi/8) et tan(pi/8)

:zen: :we:

[mrif]

Ecris 1+i sous forme trigonométriques puis exponentielle

[victen]

z^2 = 1+i = ;)2(cos(;)/4)+isin(;)/4)
(cos(;)/4)+isin(;)/4) = e^i;)/4
z^2 = 1+i = ;)2e^i;)/4

mais z ?

[busard_des_roseaux]

bonjour,
voilà une méthode (=astuce classique) pour trouver une racine carrée dans C

on rajoute l'égalité entre modules






en additionnant


soient quatre racines.
Après on en garde que deux, avec signe(xy)=signe(b)


ces considérations t'éviteront de résoudre une équation du quatrième degré :we:

la forme trigo donne


la racine quatrième de 2 étant deux racines carrées emboitées.

[victen]

Astucieux !
Qu'entendez-vous pas "en additionnant"
et comment trouver la forme trigo aussi rapidement apres avoir determiner x^2 et y^2 ?