Question de probabilités avec la Formule du Crible

[guiguipelloq]

Voilà un petit problème qui me trotte dans la tête depuis la 1ère. Maintenant je suis en prépa HEC (ECS1) et j'ai établi un raisonnement qui me semble juste mais le résultat me semble aberrant.
Voici le problème, simple.

On a un paquet de 40 cartes : 6 rouges, 8 bleues, 8 vertes, 18 noires (40 au total donc).
On en pioche 6. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une verte, et en même temps au moins une rouge, et une bleue ? (càd la proba d'obtenir une main dans laquelle il ne manque aucune couleur sauf, éventuellement, la couleur noire.)

Mon raisonnement :
Soit X la variable qui compte le nombres de cartes rouges piochées
Soit Y la variable qui compte le nombres de cartes bleues piochées
Soit Z la variable qui compte le nombres de cartes vertes piochées

Voici la suite du raisonnement, manuscrit :

Et voici la version dactylographiée :
On doit calculer P((X>0)inter(Y>0)inter(Z>0))=1-[P((X=0)U(Y=0)U(Z=0))]
(inter remplace le signe intersection d'évènements)
P[(X=0)U(Y=0)U(Z=0)]=Formule du crible, on l'applique pour n=3, càd :
P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AinterB)-[...]..+P(AinterBinterC).
P(X=0)= (nb de cas favorables)/(nb cas possibles)=(6parmi34)/(6parmi40)
De même pour P(Y=0)=P(Z=0)=(6parmi32)/(6parmi40)
Même raisonnements pour P((X=0)inter(Y=0)), etc.
On applique la formule du crible, et on trouve, P(demandée)=0,328 (arrondie au millième).

Y a-t-il une erreur, et si oui, où? Merci d'avance.

[Anonyme]

Une autre modélisation possible est de tirer 1 seule carte carte 6 fois sans remise
et de faire un arbre de probabilité qui calcule la proba de la couleur de la carte qui est tirée


Ps)
je ne sais pas trop si l'astuce qui consiste à calculer la proba de l'événement contraire est très intéressante au niveau des calculs
car cela nécessite de calculer des OU ( 0R ou 0B ou 0V ) qui à mon avis complique les calculs

[guiguipelloq]

Je comprends qu'un arbre pourrait être fait mais il serait énorme et peu lisible, ce n'est pas une solution enviable.

[Anonyme]

@guiguipelloq
En hiver les arbres ont moins de feuilles et on peut mieux les compter :-)

[guiguipelloq]

@guiguipelloq
En hiver les arbres ont moins de feuilles et on peut mieux les compter

D'accord, dans ce cas fais le toi-même Il y aura simplement 4096 branches totales à la fin.

[Anonyme]

4096 branches totales à la fin.

J'ai trouvé une astuce pour qu'il n'y ait que 3^6 branches

ps)
sinon j'ai déjà pas mal de boulot dans mon jardin .... avec le vent qu'il y a eu ces derniers jours...
J'ai même un arbre qui est tombé !
Je peux t'envoyer si tu veux une photo du tas de feuilles qui se trouve au fond du jardin
et qui soit disant va faire du compost l'an prochain ?

[guiguipelloq]

Comment en est-on arrivé à s'entre-troller sur un forum de maths ?
Si un modo existe ici, comprendra-t-il cet ultime taunt ? Le supprimera-t-il ?
Ou... cette feuille sera-t-elle la dernière de l'arbre que j'ai planté ici ?
Tant de questions dont il me tarde de connaître les réponses.

[Anonyme]

@guiguipelloq

Relax.... je viens de supprimer mes 3 messages
Ce n'est pas parce que tu désires comprendre ton exo qu'il faut réagir comme tu le fais !

Conseil : Essaie de te détendre et fais de la relaxation entre l'écriture 2 messages
A+

[guiguipelloq]

T'inquiète je suis très relax... Ma relance n'était qu'une boutade, comme je considérait que proposer de faire un arbre constituait aussi une boutade. Mais je suis d'accord, j'aurais pu faire du second degré un peu plus visible.