Pti calcul assez compliqué

[smooth5185]

Bonjour,
voila j'ai un pti calcul a resoudre, montrer que :
$\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\lambda_nt}\cos\left(\sqrt{\lambda_n}x\right)\left(\frac{(-4)^{n+1}e^{\lambda_nt}-(-4)^{n+1}}{(\lambda_n)^{\frac{3}{2}}}+\frac{32(-1)^{n+1}}{(2n+1)^{3}\pi^{3}}\right) = x^{2}- 1$
avec $\lambda_n = \left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^2 \;\text{avec}\; n \in \mathbb{N}.$
j'arrive a des ptites simplifications mais je suis bloqué a cause du cosinus.
Merci de votre aide .

[XENSECP]

mets les balises TEX ;)

C'est ça que tu appelles "petit" ?
Hum il doit manquer des données... on dirait du Fourier :D

[mathelot]

avec

comment ça se fait qu'il y ait de la variable t à gauche et pas à droite ?


les deux termes dans la somme (sans exponentielle)
ont même dénominateur, à un facteur près, on peut effectuer.

je me demande, comme à droite, il s'agit d'un trinôme
si ce n'est pas plus simple de commencer par montrer
l'égalité des fonctions dérivées (premières, voir seconde) puis
d'intégrer pour obtenir l'égalité de primitives.


transformer le cosinus en une exponentielle, puis forme canonique
de son exposant

[fatal_error]

Bonjour,

pour les t, c'est normal, en fait ils se simplifient :


Avec , on a :

avec et

Apres, effectivement, on peut pe deriver trois fois pour tomber sur du ln et intégrer.
En espérant ne pas avoir fait la faute super probable :briques:

[smooth5185]

ok merci pour les balises et pour votre aide.
par contre je vois tj pas comment obtenir ce resultat.
Et je pense aussi qu'il ya une ptite erreure lorsque tu remplace le cosinus