Prolonger f à ∂Df

[allmess]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre la question qui suit.. Je commence à peine à travailler sur le sujet aussi les techniques me manquent.. Merci d'avance pour votre aide!
Soit une fonction continue sur . On pose . Il s'agit de determiner Df l'ensemble de definition de f (j'ai opté pour ) et de déterminer si f est prolongeable par continuité à ∂Df ( là j'ai opté pour ).
J'imagine qu'il faut regarder la limite de f(x,y) quand (x,y) tend vers (x0,0) où x0 avec un coup x<x0 et un coup x>x0.. Mais je vois pas comment le faire en pratique..
Encore merci d'avance pour votre aide!

[mathelot]

[allmess]

Merci mathelot!
Des idées pour montrer que f est prolongeable par continuité?

[Lostounet]

Bonjour,

J'hésite à dire une bêtise, mais si on prend y^2 en facteur au dénominateur et que tu le sors de la racine puis tu simplifies par y, tu peux essayer de faire un développement limité de (1-h(x)^2/y^2)^(-1/2)

Mais je ne sais pas quoi dire pour comparer h(x) et y... en plus h n'est pas assez régulière pour un DL

[Ben314]

Salut.
Si (xo,0) est un point où ta fonction f n'est pas définie (i.e. h(xo)=0), alors quelle est la limite de f(xo,y) lorsque y tend vers 0 ?
Conclusion.

[allmess]

Merci pour vos réponses.
La limite est 1.. Or la limite de f(x,0) lorsque x tend vers x0 est 0.. Donc pas de limite?

[Ben314]

Non : si alors
donc la limite a droite (i.e. lorsque y->0+) est 1, mais la limite à gauche est -1.

Et tu n'est pas sûr de pouvoir faire tendre x vers xo (en prenant y=0) vu qu'il est possible que h soit nulle sur tout un intervalle contenant xo et que, dans ce cas, f(x,0) n'existe pas pour x "voisin" de xo.

[allmess]

Ah oui effectivement! Merci beaucoup Ben314!