Problème sur un exercice d'orale (analyse)

[Kromy]

Bonsoir,

J'ai des difficultés sur un exercice d'oral (de Centrale).

Je bloque à un certain endroit :
on nous donne une fonction f et il s'agit de montrer qu'elle est solution maximale d'une équa-diff, puis déterminer la limite de f (en + l'infinie).

Cette fonction f est la suivante :
f(x) = 1 + Intégrale[exp(-t)/(1+exp(-t)).sin.(x-t).dt] (les bornes de l'intégrale sont de x à + l'infinie).

L'équation différentielle est la suivante :
y'' + y = 1 / (1+exp(-x)).

En essayant de résoudre l'équa-diff, je tombe sur un résultat que je n'arrive pas à faire correspondre à l'intégrale (j'ai du mal à la calculer).

Quelqu'un peut-il me guider un peu S.V.P ?

Je vous suis d'avance reconnaissant.
Kromy.

(désolé, je n'ai pas trouvé comment mettre le signe intégrale, ni l'infinie)

[Joker62]

Hé bien vérifie que la fonction et solution et implore l'unicité de Cauchy-Lipschitz :o

[Kromy]

Merci pour cette information.

Mais pour montrer que f est solution, ce n'est pas évident...
J'ai du mal à calculer f.
Sinon j'ai essayé de dériver deux fois, mais j'ai du mal, pouvez-vous m'aider S.V.P ?

Ah et j'ai corrigé l'expresion de f qui n'était pas la bonne (j'avais mis exp(-n.x) au lieu de exp(-t)).

[Finrod]

Utilise une formule de trigo sin(x-t)=sin(x)cos(t)-cos(x)sin(t), comme ça tu pourras sortir les x de l'intégrale et il faudra dériver un produit d'une fonction de x par une intégrale où x n'apparait que dans les bornes (tu dois savoir faire).

[Kromy]

Merci pour l'aide.
Je crois que j'arriverai à me dérouiller pour l'intégrale.

Seulement j'ai du mal avec une autre question :
on introduit une fonction g, et on nous demande de montrer qu'elle est de classe infinie sur R+* et C1 au voisinage de 0, puis finalement on nous demande de montrer que f=g.

La fonction g qui s'écrit :
g(x) = Somme [(-1)^n.exp(n.x)/(1+n²)] (la somme allant de n=0 à + l'infinie).

J'ai pensé utiliser le théorème de Cauchy Lipschitz, mais je ne suis pas sur que ce soit la bonne solution... Ou alors peut-être faut-il des conditions initiales, mais je n'en ai pas.

Merci pour votre aide.

[miikou]

salut

il y existe un theorme entre solution globale et maximal ..