Un problème de suites et de probabilités en loisir

[oldelpaso]

Bonjour à tous !

Alors voilà, cela fait plus de trois ans que j'ai quitté les rangs de la prépa maths spé pour entrer dans mon école d'ingénieurs en informatique. Mais en ce moment, je me disais que ce serait bien sympathique de refaire à nouveau quelques problèmes de mathématiques.

Un de mes amis m'a donné un problème que je n'avais pas encore étudié, et dont il ignore la réponse... Je me suis bien creusé la tête, et je pense que la fatigue intervient pour son rôle, mais là je m'avoue bloqué. Alors, si cela peut m'aider, j'aimerai bien voir vos commentaires sur le problème et ce que j'ai déjà fait.

C'est parti pour mon premier post, et merci d'avance à ceux qui prendrons le temps de tout lire, et encore plus à ceux qui prendront le temps de me répondre.



Énoncé :

Soit la probabilité d'obtenir un nombre de chiffres en multipliant deux nombres de chiffres choisis aléatoirement, pour .
Étudiez la convergence de la suite et donnez sa limite.



Mon raisonnement :

Alors, j'ai bien compris qu'il s'agit d'un problème de dénombrement dans un premier temps, et c'est là dessus que je débute.

Étudions d'abord le cas où .
On exclut et on ne considère que les entiers entre et ; on compte alors le nombre total de couple de facteurs possible :

possibilités pour le premier facteur, et pour le second, donc un total de possibilités.

On compte maintenant les cas favorables, à savoir les couples de facteurs de chiffres dont le produit est de chiffres :

- si le premier facteur vaut , aucun cas favorable
- si le premier facteur vaut , les bons seconds facteurs sont entre et , 5 cas favorables
- si le premier facteur vaut , les bons seconds facteurs sont entre et , 6 cas favorables
- si le premier facteur vaut , les bons seconds facteurs sont entre et , 7 cas favorables
- si le premier facteur est entre et , les bons seconds facteurs sont entre et , 40 cas favorables

D'où un total de cas favorables et .



Passons maintenant au cas général où , et notons alors :

- le nombre de couple d'entiers de chiffres qui sont favorables,
- le nombre total de couple d'entiers de chiffres.

On a alors

Dire que est un entier de chiffres revient à dire que .
A fortiori, on peut calculer .
(Désolé pour la longue formule, je n'ai pas trouvé comment faire les intervalles d'entiers...)











Déterminons maintenant la formule de , ou tout du moins une formule. Pour cela, prenons le raisonnement de fixer le premier facteur, et de déterminer le nombre de second facteur qui lui sont favorables.

Soit avec fixé, et prenons également respectant le même encadrement.

a exactement chiffres



puisque

puisque



Donc pour fixé entre et , il existe :
cas favorables.

d'où




Pour résumé, sous réserve que le raisonnement jusqu'ici est correct, on a pour :



avec

et



Bon, on a les formules. Un travail déjà pas mal intéressant qui m'a pris beaucoup de temps, mais le mieux est à venir. Pour étudier la convergence de la suite il m'a paru naturel de chercher à encadrer . Quoi de mieux que les comparaisons séries-intégrales (un petit merci à la bande de Cauchy et al.) :





En appliquant cette propriété à la formule de , on obtient par sommation, et extrayant le terme constant de la somme :



avec





Donc en étudiant la convergence de la suite de terme on pourra déterminer celle de qui sera de même limite.




On arrive au passage de la comparaison séries-intégrales. Généralisons un peu la formule dont on a besoin, cela évitera de trainer les termes de .

Soit tel que .
Soit .
Soit tel que .

Par stricte décroissance de la fonction inverse, continue et positive sur , on a d'après la comparaison série-intégrale :



Par sommation télescopique et multiplication par , on obtient :





Ainsi, on obtient :








Bon, tout ça a l'air de converger vers , alors pourquoi je m'affole ? C'est ce que je voulais démontrer une convergence en déterminant la limite...

Oui, mais : . Ça colle pas trop avec une probabilité. Donc, j'ai conscience d'avoir fait une erreur, mais après plusieurs relecture, je ne trouve toujours pas.

Donc, si vous en êtes arrivé ici dans la lecture, encore merci d'avoir pris ce temps, et n'hésitez pas à me dire ce que vous pensez !

[aviateur]

Bonjour Il faut revoir ton raisonnement car tu as oublié que l doit avoir n chiffres.
Donc tu te retrouves avec un cardinal trop grand.
Pour indication, sauf erreur de ma part on doit trouver comme limite :

[nodgim]

Je ne trouve pas le même résultat, mais je n'ai peut être pas la bonne démarche, ou pas le bon calcul....

Est ce que cette proba n'est pas la partie d'aire située au dessus du graphe de la fonction 10 ^ (2n-1) / x pour x et y limités à 10 ^ n ?

[aviateur]

Bonjour @nogdim
C'est possible ce que tu dis car ça ressemble beaucoup à ce qu'il faut faire.
Mas j'ai vérifié mes calculs et je pense qu'ils sont bons.
Tu as surement la bonne démarche mais il faut revoir tes calculs.
Si @oldelpaso comprend son erreur, vu qu'il sait mener des calculs, il est capable corriger et on pourrait confronter les différents résultats.

[nodgim]

Il y a quelque chose qui me chagrine.

Si je dessine l'hyperbole 1000/x dans le repère orthonormé, dessin limité x et y = 100, la partie d'aire située au dessus de la courbe ne me semble pas couvrir 82% du carré 100*100.

Mon calcul me donne plutôt 1 - ln10/10 - 1/10, soit environ 0,67.

C'est la raison pour laquelle je pense que mon modèle ne doit pas être bon.

[Ben314]

Salut,
Je trouve exactement la même chose qu'aviateur :
L'erreur de oldelpaso c'est son qui ne tient pas compte du fait que doit avoir plus de chiffres. Le bon encadrement pour c'est et et on peut continuer les calculs comme le fait oldelpaso (mais son résultat est faux vu que son est faux).

Sinon, à mon avis, le bon point de vue est effectivement graphique :
Parmi les points (a,b) avec a,b entiers à n chiffres, on cherche la proportion de ceux situés au dessus de l'hyperbole d'équation ab=10^(2n-1). En posant x=a/10^(n-1) et y=b/10^(n-1), ça correspond à chercher, parmi les points situé sur le "maillage" de pas 1/10^(n-1), quelle est la proportion de ceux qui sont au dessus de l'hyperbole d'équation y=10/x. Et des argument évident de théorie de la mesure disent que, si n tend vers l'infini, cette proportion va être égal à la surface située au dessus de l'hyperbole divisée par la surface du carré :

[nodgim]

Ah, je viens de voir ce qui n'allait dans mon calcul, j'ai compté à tort les nombres < n chiffres, j'avais pris un carré trop grand.

[LB2]

Bonjour oldelpaso,

merci pour ce message très détaillé et agréable à lire.
La subtilité importante qu'ont relevé Ben et Aviateur donne la bonne valeur de Sn et la bonne limite pour Tn.
Il ne faut pas oublier la condition que l a exactement n chiffres pour rester logiquement équivalent dans ton raisonnement, ce qui te donne une majoration plus contraignante que celle que tu obtenais.