Problème Limite en +oo

[savan-306D]

Salut, je me suis bloqué sur la limite d'une fonction à l'infinie :


J'ai démontré que

donc


et Puis


mais la limite F(x) - 2x je n'arrive pas à la calculer ! ça donne a peu près ça :



Là j'ai besoin d'aide et merci pour toute réponse.

[mrif]

Salut, je me suis bloqué sur la limite d'une fonction à l'infinie :


J'ai démontré que

donc


et Puis


mais la limite F(x) - 2x je n'arrive pas à la calculer ! ça donne a peu près ça :



Là j'ai besoin d'aide et merci pour toute réponse.

Essaie de faire un encadrement du même style en remarquant que:

[savan-306D]

Essaie de faire un encadrement du même style en remarquant que:

J'ai vérifié la relation ce n'est pas t/4 mais plutôt t


et l'encadrement a donné les mêmes résultats il me reste 0 < lim F < 2

Une autre idée peut être

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Je pense que le fait de considérer : suppose de partir de .
Donc : :
Cela implique que :
Et poursuivre le reste du calcul en se basant sur cette majoration.

Cordialement. :happy3:

[savan-306D]

Bonsoir, :happy3:

Je pense que le fait de considérer : suppose de partir de .
Donc : :
Cela implique que :
Et poursuivre le reste du calcul en se basant sur cette majoration.

Cordialement. :happy3:

Ca resulte au meme apres integration on a :
on suppose l'autre coté du zero dèja acquis :

et
donc ca revient au même ! :mur:

[barbu23]

Je n'ai pas bien compris ton raisonnement :











Tu termines la simplification. :happy3:

Cordialement. :happy3:

[savan-306D]

Je n'ai pas bien compris ton raisonnement :











Tu termines la simplification. :happy3:

Cordialement. :happy3:

j'ai fait toutes ces étapes j'ai juste skippé un peu et j'ai même considéré l'inégalité déja trouvé en haut, il me faut juste l'encadrement a droite qui a pour limite 0

[savan-306D]

j'ai fait toutes ces étapes j'ai juste skippé un peu et j'ai même considéré l'inégalité déja trouvé en haut, il me faut juste l'encadrement a droite qui a pour limite 0

De plus, j'ai trouvé la primitive de la fonction mais c'est long ! voila la primitive:
(sqrt((x + 1)² + 1) (x + 1) + ln(sqrt((x + 1)² + 1) + x + 1)) / 2 - ((sqrt((x - 1)² + 1) (x - 1) + ln(sqrt((x - 1)² + 1) + x - 1)) / 2) c'est moche ! :doh:

[barbu23]

Non, je comprends un peu où tu bloques :
Remarque que : avec une constante, la même chose pour l'autre :
On a :

puisque : est considéré comme constante, vue qu'elle ne dépend pas de .
Finalement :


Cordialement. :happy3:

[Ben314]

Salut,

1) Perso, cet encadrement :

me semble... franchement pas malin...

L'écart entre les deux bornes de l'encadrement tend vers 1 lorsque t tend vers l'infini (donc ce n'est pas super précis) alors que la minoration pour est complètement évidente et fournit un encadrement dont l'écart entre les deux bornes tend vers 0 donc beaucoup plus précis et en particulier assez précis pour en déduire la limite de lorsque X->+oo

2) Sinon, on peut calculer la valeur explicite de l'intégrale : si on pose , on a ce qui incite (...fortement) à faire le changement de variable (sinus hyperbolique) qui va donner (cosinus hyperbolique).
Ce changement de variable fait "disparaitre" la racine carré, mais fait apparaitre des . On les fait ensuite disparaitre en utilisant le 2em changement de variable .
Evidement, on peut tout faire avec un seul changement de variable en posant dés le départ (avec v>0) mais ça donne un peu l'impression que le changement de variable est "sorti d'un chapeau"...

[savan-306D]

Salut,

1) Perso, cette encadrement :me semble... franchement pas malin...

L'écart entre les deux bornes de l'encadrement tend vers 1 lorsque t tend vers l'infini (donc ce n'est pas super précis) alors que la minoration pour est complètement évidente et fournit un encadrement dont l'écart entre les deux bornes tend vers 0 donc beaucoup plus précis et en particulier assez précis pour en déduire la limite de lorsque X->+oo

2) Sinon, on peut calculer la valeur explicite de l'intégrale : si on pose , on a ce qui incite (...fortement) à faire le changement de variable (sinus hyperbolique) qui va donner (cosinus hyperbolique).
Ce changement de variable fait "disparaitre" la racine carré, mais fait apparaitre des . On les fait ensuite disparaitre en utilisant le 2em changement de variable .
Evidement, on peut tout faire avec un seul changement de variable en posant dés le départ (avec v>0) mais ça donne un peu l'impression que le changement de variable est "sorti d'un chapeau"...

Pour 1) L'encardrement du coté droit ne pose aucun problème puisque j'ai tracé la courbe de la fonction et j'ai pu constaté que la limite en +oo de F(x) -2x est 0 donc j'ai dèja la partie droite il me faut un encardement a gauche qui a pour limite aussi 0, c'est ce que j'ai voulu
sinon 2) J'ai calculé la valeur explicite de l'integrale en changeant de variable mais ca risque d'etre long, mais maintenant je suis entrain de calculer la limite explicitement sachant que la fonction

[arnaud32]

J'ai vérifié la relation ce n'est pas t/4 mais plutôt t


et l'encadrement a donné les mêmes résultats il me reste 0 < lim F < 2

Une autre idée peut être

[savan-306D]

Je pense que ça à marcher :


Et j'ai dèja démontré que la limite était supérieure ou égale à 0 donc la Limite est 0

[chan79]

SAlut
Une approche géométrique

Comme , F(x) est supérieur à l'aire du trapèze EFDC soit 2x
Comme f est convexe, F(x) est inférieur à l'aire de ABCD soit

soit
soit

ou

A droite, la première parenthèse tend vers -1 et la seconde vers 1 (quantités conjuguées)
donc la limite en de F(x)-2x est égale à 0

[savan-306D]

J'ai pas compris comment l'aire d'ABCD est

[chan79]

J'ai pas compris comment l'aire d'ABCD est

la petite base est égale à

la grande base est égale à

la hauteur CD est égale à ((x+1)-(x-1))=2

aire de ABCD =

[Black Jack]

(t-1) <= V(t²+1) <= t + 1/t

S(de x-1 à x+1) (t-1) dt <= S(de x-1 à x+1) V(t²+1) dt <= S(de x-1 à x+1) (t + 1/t) dt

[t²/2 - t](de x-1 à x+1) <= F(x) <= [t²/2 + ln|t|](de x-1 à x+1)

(x+1)²/2 - (x-1) - (x-1)²/2 + (x - 1) <= F(x) <= (x+1)²/2 + ln|x+1| - (x-1)²/2 - ln|x-1|

x²/2 + x + 1/2 - x + 1 - x²/2 + x - 1/2 + x - 1 <= F(x) <= x²/2 + x + 1/2 + ln|x+1| - x²/2 + x - 1/2 - ln|x-1|

2x <= F(x) <= 2x + ln|(x+1)/(x-1)|

0 <= F(x) - 2x <= ln|(x+1)/(x-1)|

0 <= lim(x--> +oo) [F(x) - 2x] <= lim(x--> +oo) ln|(x+1)/(x-1)|

0 <= lim(x--> +oo) [F(x) - 2x] <= 0

lim(x--> +oo) [F(x) - 2x] = 0


:zen:

[Ben314]

(t-1) <= V(t²+1) <= t + 1/t
...
2x <= F(x) <= 2x + ln|(x+1)/(x-1)|

Euhhhhh, ça me semble plus que louche que, partant d'un encadrement dont la précision est moindre que l'unité, tu obtienne aprés intégration sur un intervalle de largeur 2 un encadrement dont la précision tend vers 0 : y'a forcément une erreur de calcul quelque part...

[Black Jack]

Euhhhhh, ça me semble plus que louche que, partant d'un encadrement dont la précision est moindre que l'unité, tu obtienne aprés intégration sur un intervalle de largeur 2 un encadrement dont la précision tend vers 0 : y'a forcément une erreur de calcul quelque part...

Tu as lu l'énoncé trop vite.

L'encadrement est fait sur V(t²+1)

Mais la limite est celle de S (de (x-1) à (x+1)) V(t²+1) dt - 2x

et comme l'écart entre les bornes d'intégration est 2 ..., le 2x dans la limite recadre le tout.

:zen:

[Ben314]

Je vois pas bien le rapport avec le fait d'avoir lu ou pas l'énoncé.
Je constate simplement que tu as un encadrement AOr, il me semble que la surface d'un rectangle de largeur 2 et de hauteur 1, ç'est pas vraiment proche de 0 (et de retrancher un truc du style 2x à A et B, il me semble bien que ça ne chage rien à l'écart qu'il y a entre les deux...)