Problème de limite et d'indétermination

[Jonny]

Salut,
je viens de finir le chapitre en maths sur l'étude locale des fonctions et les développements limités.
C'est le week-end, il est maintenant temps de comprendre et de faire des exercices ! (J'ai toujours un chapitre de retard comme ça...)

Premier exercice de ma feuille d'exos : Une limite à calculer quand x tend vers + l'infini :

( ( a^(1/x) + b^(1/x) + c^(1/x) )/3)^x

J'ai fait a^(1/x) > 1 donc ( ( a^(1/x) + b^(1/x) + c^(1/x) )/3) > (1+1+1)/3
c'est à dire 1

et donc le tout tend vers 1.
C'est faux, car il y quelque part une indétermination. Je ne vois pas ce qui est faux dans ce que je fais.

Quelqu'un peut il m'expliquer pourquoi j'ai faux, et surtout pourquoi je n'ai pas senti l'indétermination ?

Merci beaucoup

[leon1789]

J'ai fait a^(1/x) > 1 donc ( ( a^(1/x) + b^(1/x) + c^(1/x) )/3) > (1+1+1)/3
c'est à dire 1

et donc le tout tend vers 1.
C'est faux, car il y quelque part une indétermination. Je ne vois pas ce qui est faux dans ce que je fais.

c'est tout simple : tu dis
[CENTER]f(x) > 1 donc f(x) tend vers 1
[/CENTER]Mais c'est clairement faux...

[Jonny]

Oups j'ai été brouillon dans ma notation. Mes > veulent dire "tend vers". Je n'ai pas pensé une seconde à utiliser des inégalités, donc je n'ai pas fait attention à ce détail ^^"

Voilà ce que je voulais dire :

( ( a^(1/x) + b^(1/x) + c^(1/x) )/3)^x

J'ai fait a^(1/x) tend vers 1 donc ( ( a^(1/x) + b^(1/x) + c^(1/x) )/3) tend vers (1+1+1)/3 c'est à dire 1

et donc le tout tend vers 1.

[leon1789]

ok.

oui, il y a une indétermination dans quand f(x) tend vers 1 et g(x) vers l'infini.

Tu vois pourquoi ?

[Jonny]

Ah, je crois que je la vois, mais elle est plus visible avec la forme exponentielle.

Ca fait e^(g(x) * ln(f(x)) )
avec g(x) qui tend vers + l'infini, et ln(f(x)) vers 0. Donc 0 * infini, indéterminé ?
Il faut comparer avec quelle "force" g(x) tend vers l'infini et f(x) tend vers 1.

Comment faire ?

Merci de ton aide =)

[leon1789]

Ah, je crois que je la vois, mais elle est plus visible avec la forme exponentielle.

Ca fait e^(g(x) * ln(f(x)) )
avec g(x) qui tend vers + l'infini, et ln(f(x)) vers 0. Donc 0 * infini, indéterminé ?

exactement !

Il faut comparer avec quelle "force" g(x) tend vers l'infini et f(x) tend vers 1.

Comment faire ?

comme tu as dit, étudier g(x) * ln(f(x)).

par exemple, essaie de trouver un encadrement de g(x) * ln(f(x))

[Jonny]

Un encadrement ? Là je ne vois pas.

En prenant f(x)=( a^(1/x) + b^(1/x) + c^(1/x) )/3
et g(x)=x

On a g(x)*ln(f(x)) = xln(a^(1/x) + b^(1/x) + c^(1/x)) - xln(3)

J'ai oublié de dire que a b et c appartiennent à R+*

Je vois pas comment encadré tout ça...

Et au passage, en cherchant, je me suis posé une question, peut-être bête, mais là tout de suite ça m'intrigue. Si j'ai x^y (x,y)appartient à R^2
comment j'écris en exponentielle ? Si x est négatif, il faut une valeur absolue dans le ln, et où passe le signe de x ?

[leon1789]

Un encadrement ? Là je ne vois pas.

En prenant f(x)=( a^(1/x) + b^(1/x) + c^(1/x) )/3

parmi les réels a,b,c, il y a le plus grand, et le plus petit

Et au passage, en cherchant, je me suis posé une question, peut-être bête, mais là tout de suite ça m'intrigue. Si j'ai x^y (x,y)appartient à R^2
comment j'écris en exponentielle ? Si x est négatif, il faut une valeur absolue dans le ln, et où passe le signe de x ?

x^y n'est pas réel si x est négatif et y irrationnel (pas forme exponentielle)

[Jonny]

Merci, je vais creuser l'indication.

Mais pour x^y, je ne suis pas convaincu, pourquoi y irrationnel ?

Si je prends un exemple : (-3)^2
Comment l'écrire sous forme exponentielle ? On ne peut tout simplement pas ?

[leon1789]

Mais pour x^y, je ne suis pas convaincu, pourquoi y irrationnel ?

Si je prends un exemple : (-3)^2

ben là, tu as pris un y rationnel !

Mais prends un y irrationnel : par exemple
ce nombre n'est pas réel !