[Mpsi] Un problème de géométrie ds l'espace

[Anonyme]

Bonjour à tous,

On étudie la possibilité de construire ds un espace euclidien de dimension 3
un systeme de 4 points A, B, C, D dont les distances mutuelles sont
imposées.
On pose : AB = BC = CD = DA = 1, AC = a , BD = b

1) Montrer que le plan P médiateur de [A,C] passe par B et D et que le plan
P' médiateur de [B,D] passe par A et C.

On a 2 cas :
-> A, B, C, D coplanaires : trivial, ca découle des propriétés du losange
-> A, B, C, D non coplanaires :
Le triangle (ACD) est isocèle en D donc D appartient à la médiatrice de (AC)
et plus précisément à P. Idem pour B dans (ABC).
Idem pour P' avec les triangles (BCD) et (ABD).

2) Que dire des directions de (AC) et (BD)

Il découle de ce qu'on a vu au dessus que (AC) est orthogonale à (BD).

3) On note M le milieu de [B,D], N le milieu de [A,C] Montrer que (MN) est
perp. à (AC) et (BD). Montrer que (MN) est la perp. commune à (AC) et (BD)
et que c'est l'intersection de ces deux plans médiateurs.

M appartient à (BD) et N appartient à (AC). (BD) orth. à (AC). (AC) et (MN)
sont coplanaires car (AC) appartient à P et M aussi. Donc N aussi. De même
(BD) et (MN) sont coplanaires, (MN) est l'intersection des deux plans
médiateurs car (MN) appartient à P et P'. Et au passage on a montré comme P
orth à (BD) et P' orth à (AC) par définition, que (MN) est la
perpendiculaire commune à (AC) et (BD).

Voilà c'est sur ca que je ne suis pas sûr de mon raisonnement. Est-ce
correct ? Ca en a l'air mais est-ce assez détaillé ??