Problème arbitrage options put et call

[samara92]

Bonjour, j'essaie de faire un exercice mais j'ai quelques difficultés.. je pense qu'il faut raisonner par l'absurde mais je n'arrive pas a montrer que si la fonction est non convexe, alors il existe une possibilité d'arbitrage... mezrci!!

Soit S = {Ki,p(Ki)) pour i=l,...,n une liste des prix d'exercice et des primes (prix d'achat) d'une série
de CALLs européens sur la même valeur soujacente et la même date d'exercice.

Démontrer que :
Les actifs S n'admettent pas d'arbitrage
si et seulement si
l'application Ki i-> p(Ki), i = 1,..., n est convexe. (4)
c.à d. si Ki3 = aK^ + (1 - a)Ki2, avec a appartenant à [0,1], alors p{Ki3) < ap(Kix) + (1 - a)p{Ki2).
(Il s'agit de deux implications à démontrer).

[LeJeu]

[quote="samara92"]Bonjour, j'essaie de faire un exercice mais j'ai quelques difficultés.. je pense qu'il faut raisonner par l'absurde mais je n'arrive pas a montrer que si la fonction est non convexe, alors il existe une possibilité d'arbitrage... mezrci!!

Soit S = {Ki,p(Ki)) pour i=l,...,n une liste des prix d'exercice et des primes (prix d'achat) d'une série
de CALLs européens sur la même valeur soujacente et la même date d'exercice.

Démontrer que :
Les actifs S n'admettent pas d'arbitrage
si et seulement si
l'application Ki i-> p(Ki), i = 1,..., n est convexe. (4)
c.à d. si Ki3 = aK^ + (1 - a)Ki2, avec a appartenant à [0,1], alors p{Ki3) = P(K-x) + p(K+x)

Du coup tu te fais ton portefeuille en achetant un option à Strike ( K -x) et une option à strike (K+x) que tu achètes en vendant deux options à strike (K)

Maintenant à la date d'exercice il te faut regarder ce que tu as dans les mains.. si c'est >=0 c'est que l'arbitrage est donc possible

il te faut donc regarder ce que vaut ton portefeuille suivant le prix S à la date d'exercice
en considerant les quatres cas possibles:
S k+x
Je te laisse faire ..

Si l'arbitrage est possible c'est donc que
Non arbitrage => fonction convexe

[samara92]

Bonsoir,

La définition de la convexité comme tu la donnes avec le barycentre est exact, en plus simple tu peux regarder ce qui se passe avec K -x et K+x
la convexité te donne p(K) = P(K-x) + p(K+x)

Du coup tu te fais ton portefeuille en achetant un option à Strike ( K -x) et une option à strike (K+x) que tu achètes en vendant deux options à strike (K)

Maintenant à la date d'exercice il te faut regarder ce que tu as dans les mains.. si c'est >=0 c'est que l'arbitrage est donc possible

il te faut donc regarder ce que vaut ton portefeuille suivant le prix S à la date d'exercice
en considerant les quatres cas possibles:
S k+x
Je te laisse faire ..

Si l'arbitrage est possible c'est donc que
Non arbitrage => fonction convexe

Bonjour, merci bcp pour votre réponse mais étant novice en finance je n'arrive pas a conclure entierement...

Dans la mesure ou on encaisse 2 primes dont le montant est superieur a deux autres primes qu'on paye, on gagne forcément non?
Car je ne vois pas comment le prix d'exercice influe selon les 4 cas!
Merci pr votre aide...

[LeJeu]

Bonjour, merci bcp pour votre réponse mais étant novice en finance je n'arrive pas a conclure entierement...

Dans la mesure ou on encaisse 2 primes dont le montant est superieur a deux autres primes qu'on paye, on gagne forcément non?
Car je ne vois pas comment le prix d'exercice influe selon les 4 cas!
Merci pr votre aide...

Les primes (premium) c'est ce que tu va payer ou encaisser au départ ( à l'intant t0 où tu constitues ton portefeuille) et le fait de supposer que la courbe soit non convexe te dis donc effectivement que tu as les moyens de payer tes deux premiums avec les deux premiums encaissés sans rien mettre de ta poche

MAIS

Arrivé à la date d'exercice, toutes tes options vont se déboucler... et suivant le prix du sous jacent S, et le prix d'exercices que tu avais chois pour tes option ( K, K-X, K+X) tu auras des gains ou des pertes : à toi de les quantifier ... qui doit combien à qui ? le vendeur/l'acheteur du Call ? Et forcément en fonction de S ....c'est la question...