Polynômes du troisième degré.

[GoG]

Bonsoir à toutes et à tous .

Soit avec

On suppose que est solution de et que et

Montrer que et sont solutions de
(déjà fait)

On pose le discriminant de :
1) Dans le cas ,on note les solutions réelles de .Exprimez alors les solutions de en fonction de et .
2)Dans le cas ,on note l'unique solution de .Exprimez alors les solutions de en fonction de .
3)Dans le cas ,on note une des solutions de et une raçine cubique de .Exprimez alors les solutions de en fonction de .

Voilà un exercice sur lequel je planche depuis 1 heure et je n'y arrive pas ,je bloque sur des calculs que je pense utile mais qui le ne sont pas du tout et je n'arrive pas à trouver le truc à faire.Si vous pouviez m'aider ,ca serait sympathique

A+,cordialement Gauthier.

[tize]

Si alors l'équation (2) a deux solutions réelles et qui vérifient et autrement dit : d'ou et .
En remplaçant dans (1), on s'aperçoit alors que est solution de (1).
Par ailleurs si sont racines de (1) alors on a et en développant :
donc :
et .
On peut supposer dans ce cas pour trouver les autres racines il faut résoudre :


Ce qui revient à trouver les racines de : grâce au discriminant c'est très simple mais un peu long à écrire ...
Bon courage :we:

[GoG]

Bonsoir.
Il me semble que ta solution est correcte mais quand même compliquée .J'ai trouvé beaucoup plus simple ,mais la question que je voulais poser est la suivante:

Un polynôme admet il exactement n-solution(s) pour ?

Si oui,comment le démontrer ? Merci d'avance .

A+,cordialement Gauthier

[GoG]

Bonsoir.
Il me semble que ta solution est correcte mais quand même compliquée .J'ai trouvé beaucoup plus simple ,mais la question que je voulais poser est la suivante:

Un polynôme admet il exactement n-solution(s) pour ?

Si oui,comment le démontrer ? Merci d'avance .

A+,cordialement Gauthier

[tize]

Salut GoG,
J'amerai bien voir ta méthode, c'est toujours plus pratique d'en avoir une simple, alors si tu peux la poster merci.
Pour ta question, cela vient du théorème de D'Alembert-Gauss appelé aussi théorème fondamentale de l'algèbre (à taper dans google ou sur wikipedia, il y a plein de demo classique), il dit que tout polynome non constant admet au moins une racine dans .
Grâce à cela il est ensuite facile de démontrer qu'un polynome de degré n admet n racines (distinct ou pas) dans .
Là c'est bien fait...

[GoG]

Rebonsoir
Alors pour la méthode:

On a : satisfaisant à ,or est solution,ainsi est solution de car on sait que et sont solutions de (donc on a et )

Il en découle que : ,

Or ,d'après les hypothèses (voir plus haut):
.Donc il faut et il suffit de déterminer les couples

Et normalement,on tombe sur trois valeurs distinctes de ,or d'après le théorème d'Alembert ,le polynôme et de donc il possède 3 solutions distinctes ou non.Donc l'ensemble des solutions est

Voilà pour la méthode,(juste je n'ai plus envie de chercher les et les tels que ^_^),j'espère que tu as compris,sinon je t'expliquerais plus en détail .

A+,cordialement Gauthier.

[tize]

OK. Merci beaucoup. J'ai compris ta méthode :id:
A+

[GoG]

C'est moi :),Merci pour le théorème d'Alembert,ca peut servir partout ;-).
Par contre les démos,j'avoue ne pas les avoir comprises ,va falloir que je les relise .

A+,cordialement Gauthier.

[GoG]

Bonjour
N'"y aurait-il personne pour confirmer ou infirmer ce que j'avance et m'aider à répondre aux deux dernières questions pour et

Merci d'avance

[tize]

Bonjour Gauthier,
j'ai trouvé un lien qui pourra t'intéresser c'est ici

[oss007]

bonjour
ou sur Google: méthode de Cardan ; et choisir Wikipédia
Cardan est le mathématicien italien du 16ème siécle qui a le premier trouvé ces formules.

[GoG]

Merci beaucoup à vous.
J'avoue Tize que c'est marrant car je feuilletais exactement la même page au moment de lire ton message ^_^. :ptdr:

Voilà encore merci pour vos liens ;-)

A+,cordialement Gauthier.

[GoG]

Encore une question (Genre le lourd -_-)amis mathématiciens.

Dans toutes les pages que je lis,il y a les même résultats, il existe une solution réelle et il existe deux autres solutions complexes conjuguées telles que :
et où et je ne comprend absolument pas comment on peut arriver à un résultat pareil,quelqu'un pourrait-il m'expliquer en détail .Merci d'avance

A+,cordialement Gauthier.

[tize]

Je ne suis pas sur mais juste comme ca à tout hasard, ne suffit-il pas de remplacer l'inconnue par ou dans ton equation pour se rendre compte qu'ils sont solutions...?

[GoG]

Si bien sûr,mais étant donné que j'ai cet exercice en devoir maison,que je ne comprend pas bien les démonstrations à faire et que ca me stresse de ne pas comprendre,je suis allé sur le site Wikipedia pour avoir une explication claire et précise,or elle ne l'était pas ,car il catapulte un résultat et je n'arrive pas du tout à le démontrer...
Et je ne comprend pas d'où viennent ces complexes alors que le Delta est strictement positif..
Si quelqu'un serait susceptible de m'explique en détail,je serais absolument preneur.

A+,cordialement Gauthier.

[tize]

Attention, c'est le de (2) qui permet de dire qu'il existe deux solution réelles et de (2) et donc que est une solution réelle de (1).
D'autre nombres sont solution de (1) ssi et
Il est alors facil de remarquer qu'en posant et cela marche aussi de même en posant et ca marche car et que l'equation etant de degré 3 il ne peut y avoir plus de 3 solutions, on l'ai a donc toute et les deux dernière sont complexes, à cause des j...non ?

[GoG]

En fait,ce que tu dis est tout à fait juste,je cherche la complication depuis tout à l'heure,mais je vais prendre ca comme démonstration..

Merci à toi ;-)

A+,cordialement Gauthier.