Polynome/groupe

[Anonyme]

Je suis en MPSI et dans ma série d'exos je bloque sur 2 choses :

1- polynome : Mq pour tout entier n, B=nX^(n+1)-(n+1)X^n+1 est divisible par (X-1)²

J'ai écris division euclidienne : le reste est de la forme aX+b avec a,b constantes
B(1)=R(1)=0 donc a+b=0 mais il me faut une autre info pour dire sue a=b=0 et donc reste nul donc divisible...mais je trouve pas ! Je dois trouver le quotient

2-groupe : G est un groupe multiplicatif. On note Aut(G) ensemble des isomorphismes de G dans G.

Je dois montrer que Aut(G) est un groupe pour la loi "rond" (composition)....

Là je vois pas trop comment montrer associativité, élément neutre, élément inversible...

[thomasg]

Bonjour,

voici une réponse courte et rapidement rédigée,

pour la question 2, il est immédiat de montrer que l'identité est l'élément neutre,
quand à montrer que tous les éléments sont inversibles c'est également assez simple, l'inverse d'un élément étant l'application réciproque (qui existe toujours puisque tu as des isomorphismes de G dans G.

Ce fut court.

Pour la question 1, sans y avoir réfléchi j'essaierai de montrer que 1 est une racine double.

En espérant ne pas avoir fait d'erreur.

A bientôt.

[Anonyme]

On dirait pour 2) que tu cherches à montrer que Aut(G) est un sous groupe mais sous groupe de quoi ?

[tµtµ]

Salut,

1- polynome : Mq pour tout entier n, B=nX^(n+1)-(n+1)X^n+1 est divisible par (X-1)²

suffit de montrer que 1 est racine de B(X) et de B'(X) (i.e. une racine double)

2-groupe : G est un groupe multiplicatif. On note Aut(G) ensemble des isomorphismes de G dans G.Je dois montrer que Aut(G) est un groupe pour la loi "rond" (composition)....

Suffit vraiment de l'écrire. Le seul point à pas oublier c'est de rappeler que l'inverse d'un morphisme de groupe est un morphisme de groupe.

[Zebulon]

Bonjour,
pour la première question, tu n'as pas besion de passer par la division euclidienne. En effet, soit P un polynôme, r est racine de P, de multiplicité exactement m, si et seulement si P(r)=P'(r)=...=P(m-1)(r)=0 et P(m)(r) n'est pas nul (je ne sais pas faire le signe "différent de "!). Je parle des dérivées successives du polynôme;c'est difficile sans les indices et les exposants.
Donc ici, il suffit de dire que B(1)=0 et B'(1)=0, ce qui est le cas. Donc 1 est racine double de B et donc (X-1)² divise B.
A bientôt,
Zeb.

[Chimerade]

1- polynome : Mq pour tout entier n, B=nX^(n+1)-(n+1)X^n+1 est divisible par (X-1)²

Pourquoi ne pas faire la division directement ?


Euh ! Ben le premier terme doit être non ? Donc...


Que doit être le coefficient de ? Réponse -(n+1)
En développant on aura :

Donc il faut que -(n+1)=-2n+a
soit a=n-1, donc...



et ainsi de suite...

Je n'ai pas réellement terminé le travail, mais il me semble, que la formule ressemble fortement à :



A vérifier, bien sûr...

[Anonyme]

J'ai trouvé le meme quotient que toi ! Par contre pour les groupes j'ai du mal à me représenter els choses :

Pour associativé : soient f,g,h trois fction appartenant à Aut(G) c a d réalisant un morphisphe de (G,x) dans (G,x) et bijective... Je veux montrer que :

fo(goh)=.....=(fog)oh mais je vois pas comment écrire ça

C'est pas claire dans ma tete...

[Zebulon]

Pour la question des polynômes, je reste sur mon idée:effectuer la division euclidienne est correct mais ce n'est pas une bonne méthode et je prouve ce que j'avance!! Regarde la longueur des calculs!
L'associativité, il suffit de l'écrire comme dit tµtµ, en prenant un élément x de G:
[(f°g)°h](x)=(f°g)[h(x)]=... à toi de continuer pour avoir ce qu'on veut.
Comme c'est valable pour tout x de G...
Ensuite, l'élément neutre. Quel peut-il bien être sachant qu'on parle d'automorphismes de G? C'est vrai que c'est difficile de se rerésenter un ensemble d'automorphismes d'un groupe, qui peut être lui-même un ensemble bizarre!!! Pense à l'analogie avec les fonctions.
Enfin, pour montrer que tout élément de Aut(G) est inversible, la réponse à déjà été donnée par tµtµ, encore lui!
A bientôt,
Zeb.

[Chimerade]

Pour la question des polynômes, je reste sur mon idée:effectuer la division euclidienne est correct mais ce n'est pas une bonne méthode et je prouve ce que j'avance!!

Mais tu as tout à fait raison mon cher Zebulon ! S'il s'agit simplement de démontrer que le polynôme est bien divisible par (x-1)², je suis entièrement d'accord avec toi. Cette méthode est la plus courte donc la meilleure !
Je me suis contenté de répondre à la demande explicite de Non-inscrit : "Je dois trouver le quotient"