Pi1(X)

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

Quel est le groupe fondamental de
\ , le plan privé des rationnels de l'axe des x ?

cordialement,

[tize]

Bonjour,
loin de moi la prétention de vouloir donner une preuve rigoureuse à ceci mais si on se base sur un point \ je serai tenté de dire que le groupe fondamentale basé en : est en bijection avec l'ensemble des parties bornées de dont les éléments de la frontière ne sont pas rationnels.
En effet, pour tout lacet dans \ on peut considérer l'ensemble des rationnels situés à l'intérieur du lacet (i.e. dans la partie bornée pour une courbe simple : théorème de Jordan).
On peut imaginer (j'avais prévenu : pas de rigueur) que si deux lacets n'enferment pas les mêmes rationnels, on ne pourra pas passer de l'un à l'autre par homotopie !
Dans le sens contraire, si on se donne une partie bornée de dont les éléments de la frontière ne sont pas rationnels alors on peut construire assez facilement un lacet dans \ qui enferme ladite partie.
Après dire à quoi ce groupe est isomorphe...ba pour l'instant je ne vois pas...

[busard_des_roseaux]

bjr,
toujours sans rigueur:
les rationnels de l'axe x'ox forment une famille dénombrable de "trous"
du plan complexe. je vois bien
comme un groupe libre engendré par une famille dénombrable de générateurs
...
c'est a dire l'ensemble des produits de la forme
où
ou est un générateur
et I un ensemble fini d'indices de N.

De plus, X est connexe par arcs.