Phénomènes d'attente

[stoicien]

Bonjour à tous, je suis un peu bloqué pour la résolution d'un exercice en Phénomènes d'attente.
Si quelqu'un pouvait m'aider, cela me sera d'une très grande utilité.

Une étude d'une société d'autoroute porte sur le temps qui s'écoule entre le passage de deux
voitures au poste de péage la nuit. Un seul employé travaille de nuit.
Entre 1 heure et 5 heures du matin, une étude statistique a conduit à considérer que le temps
d'attente de l'employé entre deux voitures (en minutes) est une variable aléatoire X qui suit une
loi exponentielle d'espérance mathématique ;) = 15 minutes:
P(X=t) = ;)*exp(-;)t)

1- Probabilité p1 : La prochaine voiture passera exactement dans 12 minutes et 30 secondes : p1 = 0,0289

P(X=t) = ;)*exp(-;)t)
;) = 1/;).

Application numérique :

;) = 1/15.

P(X=t) = 1/15*exp(-1/15*12,5) = 0,0289
p1 = 0,0289

2- Probabilité p2 : Il va s'écouler moins de 15 minutes avant le passage de la prochaine voiture: p2 = 0,9755

- la probabilité du passage d’une voiture dans 15 mins :

P(X=t) = ;)*exp(-;)t)

Application numérique :

P(X=t) = 1/15*exp(-1/15*15) = 0,0245

- p2 :

P2 = 1-0,0245 = 0,9755
p2 = 0,9755

b- Sachant que 12 minutes se sont déjà écoulées depuis le passage de la dernière
voiture, calculons la probabilité p3 qu'aucune voiture ne se présente au péage dans les 3
minutes qui suivent:

- La probabilité du passage d’une voiture dans 12 mins :

P(X=t) = ;)*exp(-;)t)

Application numérique :

P(X=t) = 1/15*exp(-1/15*12) = 0,03

- La probabilité du non passage d’une voiture dans les 1 mins :

1- 0,03 = 0, 97

- La probabilité p3 :

P3 = 0,9755 – 0, 97 = 0, 0057

JE NE TROUVE PAS CETTE REPONSE COHERENTE ALORS QUE C’EST LA SEULE PISTE QUE J’AI .

Cette methode est elle bonne ou pas ?

Merci d'avance.

[DamX]

1- Probabilité p1 : La prochaine voiture passera exactement dans 12 minutes et 30 secondes : p1 = 0,0289

Bonjour,

Déjà la 1ere est fausse. Si la question est bien "Quelle est la probabilité que la voiture passe exactement dans 12 minutes et 30 secondes ?" alors la réponse est 0, pas de calcul à faire. Pour une variable aléatoire à densité réelle, la probabilité de tout événement discret (ou plus exactement de mesure nulle) est nulle ! Une façon très simple de le voir : Imagine que tu as un chrono pour mesurer l'arrivée de la voiture qui est précis au milliardième de seconde près. A ton avis quelle est la proba qu'en appuyant au moment où la voiture arrive le chrono affiche exactement 12 min 30 s 000.000.000 milliardième ?

Tu confonds probabilité et densité de probabilité. http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_de_probabilit%C3%A9#Cas_des_variables_al.C3.A9atoires_r.C3.A9elles_.C3.A0_densit.C3.A9

Damien

[stoicien]

Bonjour,

Déjà la 1ere est fausse. Si la question est bien "Quelle est la probabilité que la voiture passe exactement dans 12 minutes et 30 secondes ?" alors la réponse est 0, pas de calcul à faire. Pour une variable aléatoire à densité réelle, la probabilité de tout événement discret (ou plus exactement de mesure nulle) est nulle ! Une façon très simple de le voir : Imagine que tu as un chrono pour mesurer l'arrivée de la voiture qui est précis au milliardième de seconde près. A ton avis quelle est la proba qu'en appuyant au moment où la voiture arrive le chrono affiche exactement 12 min 30 s 000.000.000 milliardième ?

Tu confonds probabilité et densité de probabilité. http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_de_probabilit%C3%A9#Cas_des_variables_al.C3.A9atoires_r.C3.A9elles_.C3.A0_densit.C3.A9

Damien

Merci pour cette precision.

Mais je n'arrive pas à demontrer que :
P((X > 15)/(X > 12)) = P(X > 3).

[DamX]

Merci pour cette precision.

Mais je n'arrive pas à demontrer que :
P((X > 15)/(X > 12)) = P(X > 3).

[zygomatique]

salut

tout avait été dit ici :: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-607351.html

en plus en master ... c'est tout de même dommage ....

[stoicien]

salut

tout avait été dit ici :: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-607351.html

en plus en master ... c'est tout de même dommage ....

Bonjour zygomatique,
Je ne comprends pas pourquoi cette affirmation : " c'est tout de même dommage ".

J'ai posté ma question " Ile des mathematiques " à 10 H 32 et ensuite à 10 H 46 min sur " Math- Forum " à 10 H 46 mins.

J'ai reçu une reponse sur " Ile des mathematiques " à 11 H 44 mins et sur "Math- Forum" à 14 H 12 mins.


NB : J'ai donc pas posé la meme question ici apres avoir reçu la reponse de l'autre coté.

[stoicien]

Merci infiniment DamX pour cette démonstration.