(pgcd(a,b))²=pgcd(a²,b²)

[Sharudow]

Voila, ne vous inquiétez pas je sais démontrer cette proposition , mon problème est qu'un amis ma dit que l'on pouvait la démontrer de la manière suivante :

On sait qu'il existe (u,v) appartenant a Z² tel que pgcd(a,b)=au+bv
donc (pgcd(a,b))² =(au+bv)²
(en développant on retomberait sur quelque chose de la forme )
=a²(...)+b²(...)
=pgcd(a²,b²)
avec le contenu des pointillé appartenant a Z . Nous avons arrêté notre discussion car le contenu des pointillé n'est pas entier mais la question que je me pose est : même si s'était le cas pourrait il vraiment conclure ?

[Ben314]

Non, pas tout à fait, car ,s'il est vrai que :
"pgcd(a,b)=d" implique "il existe u et v entiers tels que au+bv=d"
la réciproque n'est pas vraie : par exemple, le fait que 12*2-9*2=6 n'implique pas que pgcd(12,9)=6 !!!!
Donc, à la fin du raisonnement, le fait que D=(..)a^2+(..)b^2 n'impliquerais pas que D=pgcd(a^2,b^2)

Remarque :
"il existe u et v tels que d=au+bv" est EQUIVALENT à "d est un multiple de pgcd(a,b)"

[euler21]

Remarque :
"il existe u et v tels que d=au+bv" est EQUIVALENT à "d est un multiple de pgcd(a,b)"

Bonsoir
Je voudrais ajouter que l'on n'a équivalence que dans le cas où d=1

[Ben314]

Bonjour,
Il me semble bien que l'on a équivalence pour tout d :
1) Si d=k.pgcd(a,b), comme il existe u' et v' tels que pgcd(a,b)=u'a+v'b, alors d=(ku')a+(kv')b est bien de la forme ua+vb.
2) Si d=ua+vb alors, comme le pgcd(a,b) divise à la fois a et b, il divise d et on a bien d=k.pgcd(a,b).

En fait, cette équivalence est souvent prise comme definition du pgcd : si a et b sont deux entiers alors, comme Z est principal, l'idéal aZ+bZ est engendré par un élément (unique si on demande qu'il soit positif) et c'est cet élément que l'on appelle le pgcd(a,b) (ou UN pgcd si on ne demande pas qu'il soit positif). Cette définition a le bon gout de pouvoir s'appliquer a tout anneau principal et pas seulement aux anneaux euclidiens.

[yos]

Oui . Euler21 voulait peut-être parler de l'équivalence

[touzani mohamed]

mais en développant il n'y a pas que a² et b² ! d'autre part,le théorème dont vous vous servez n'est qu'une implication!

[aymanemaysae]

Bonsoir;

pour démontrer que ^ ^, j'ai procédé comme suit :

Soit l'ensemble des nombres entiers naturels premiers.

Pour , la décomposition de n en produit de facteurs premiers est avec la valuation p-adique de n .

, on a et ,

donc et ,

donc a ^ b = ,

donc ^b = ,

et ^ = ^ .

Il y a d'autres démonstrations de cet exercice, mais j'aime toujours utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers, quand l'occasion se présente.

[bagabd]

et avec et ce qui implique que pour tout entier naturel (en particulier ).
et , donc .

On peut utiliser la bonne preuve de aymanemaysae pour n entier quelconque!

[Kolis]

mais en développant il n'y a pas que a² et b² ! d'autre part,le théorème dont vous vous servez n'est qu'une implication!

Bonjour !
Exact pour le carré mais en calculant on obtient bien et même divisibles par . Donc on fait bien apparaître