Un peu d'analyse complexe

[nemesis]

bonsoir a tous
1)soit h(x)
comment montrer que h^kest normalement convergente et qu'elle est
C-infinie,et que dire de son developpement analytique en 0.

2)est ce qu'on peut montrer que si on a la serie Zn et
(Zn)^2 alors la serie module de (Zn)^2 est convergente ,merci d'avance

[thedream01]

pour le début, on peut procéder par récurrence sur k non?

[nemesis]

je crois pas que ca marche ,une autre idée?

[fahr451]

bonjour

un petit problème dans ta formulation :

parler d' h^(k) implique que h est k fois dérivable;

on comprend ce que tu veux dire :
montrer que la série des dérivées k ièmes converge normalement sur R (donc analyse réelle)

on a h = sigma un (x)

la série des dérivées k ièmes est

sigma u n ^(k) (x) avec l un ^(k) (x) l = n^(2k) exp (-n) = 0 (1/n^2)

d'où la convergence normale

on en déduit en effet par récurrence que h est C^(k)

en supposant h de classe C^(k-1) avec h^(k-1) donnée par la série des dérivées k-1ièmes
puisque la série des dérivées converge normalement

h^(k-1) est C1 et sa dérivée est donnée par la série des dérivées.

[thedream01]

C'est bien à ça que je pensais!