Optimisation et Lagrangien ( dérivées partielles)

[MikeRoss]

bOnjour j'ai besoin d'aide pour finir le calcul ! Merci :)

on veut minimiser C = 3 x + 14 y sous contrainte x5;)y5=100

par la méthode du Lagrangien, on obtient le chemin d’expansion y = k x

Question : préciser la valeur de k

( Attention : on ne demande pas la valeur de x ou de y )

J'ai commencé par simplifier la contrainte et j'obtiens donc : xy=20 (en divisant par 5)

puis

L=(3x+14y)-;)(xy-20)

3=;)*y par rapport à x

14=;)*x par rapport à y

après je bloque complètement :/

Merci :)

[remullen2000]

Bonsoir,

Je ne trouve pas ça clair, mais c'est peut-être de ma faute!

Déjà, les quantités x et y sont dans quel intervalle?
Ensuite que signifie x5? Tu veux dire 5x?
Et dans ce cas x5*y5=25xy non? donc en divisant ça fait xy=4 non?

[remullen2000]

Ah oui et une dernière question:

Pourquoi ne pas simplement traduire la contrainte par x=4/y et substituer dans la fonction, puis chercher le minimum par de l'analyse simple à une variable?

[chan79]

3=;)*y par rapport à x

14=;)*x par rapport à y

y/x=3/14 on dirait ?

k=3/14

à vérifier ...

[aymanemaysae]

La réponse est juste:
En posant f(x,y) = 3x+14y, et g(x) = x^5 y^5 - 100 et la contrainte g(x) = 0.
Le lagrangien s'écrit : L(x,y) = 3x+14y - k(x^5 y^5 - 100), donc on a
3 - 5 k x^4 y^5 = 0 et 14 - 5 k x^5 y^4 = 0
3x - 5 k x^5 y^5 = 0 et 14y - 5 k x^5 y^5 = 0
3x - 14y = 0 y = (3/4) x .

J’espère ne pas avoir contrarié M. Robert en proposant ma version de la réponse. Cette fois j'ai attendu jusqu'à la fin de la discussion.

Je remercie tout le monde sur ce forum, car j'y apprends beaucoup.

[MikeRoss]

La réponse est juste:
En posant f(x,y) = 3x+14y, et g(x) = x^5 y^5 - 100 et la contrainte g(x) = 0.
Le lagrangien s'écrit : L(x,y) = 3x+14y - k(x^5 y^5 - 100), donc on a
3 - 5 k x^4 y^5 = 0 et 14 - 5 k x^5 y^4 = 0
3x - 5 k x^5 y^5 = 0 et 14y - 5 k x^5 y^5 = 0
3x - 14y = 0 y = (3/4) x .

J’espère ne pas avoir contrarié M. Robert en proposant ma version de la réponse. Cette fois j'ai attendu jusqu'à la fin de la discussion.

Je remercie tout le monde sur ce forum, car j'y apprends beaucoup.

Merci de votre aide, donc la réponse est : k=3/4 ?