Nombre de chemins

par **mehdi-128** » 28 Oct 2011, 18:11

Bonsoir, je bloque sur l'exo suivant :

Soit un repère orthonormé direct. Soit M un point de coordonnées (x,y).
x et y sont des entiers naturels.
y est compris entre -x et x.
On peut se déplacer dans le repère que de 1 en 1.
Exemple de trajet :
(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,2),(5,3),(6,2)
On suppose que le nombre de chemins joignant l'origine au point de coordonnées (x,y) vaut :

On suppose que le nombre de chemins joignant le point de coordonnées (x1,y1) au point de coordonnées (x2,y2) pour x10 et qui ne retouchent ni ne traversent l'axe des abscisses est égal à la différence entre :

* le nombre de chemins joignant (1,1) à (x,y)
* et le nombre de chemins joignant (1,-1) à (x,y)

2) Quelle est la probabilité que y soit strictement positif au moment où on arrive à x'=x-1 lorsque l'on sait que l'on sait que pour x'=x on a y>1. Montrer que cette proba vaut

Merci.

par **Skullkid** » 28 Oct 2011, 19:03

Bonjour, ton énoncé est très bizarre, tu l'as recopié tel quel ?

Ça commence quand tu dis que x et y sont des entiers naturels, mais que y est compris entre -x et x, ce qui revient en fait à y inférieur à x...

Ensuite, tu dis qu'on ne peut se déplacer que de 1 en 1, mais visiblement c'est bien plus restrictif que ça : d'après ce que je vois, quand on est au point (x,y), le point suivant ne peut être que (x+1,y+1) ou (x+1,y-1), c'est-à-dire qu'on se déplace seulement en diagonale et toujours vers la droite. Ça implique notamment que si (x,y) est un point atteignable à partir de l'origine, alors x+y est pair, ce qui donne un sens au nombre (x+y)/2 parmi x.

Enfin, dans la question 2, tu parles d'un x' que tu définies comme étant égal à x-1, mais ensuite tu parles de ce qui se passe quand x'=x, alors que x' n'a été défini que comme étant égal à x-1, ça n'a pas de sens...

Bref, pour ce qui est de la question 1, un chemin qui part de l'origine et qui ne passe par aucun autre point d'ordonnée nulle commence forcément par (0,0),(1,1), donc le nombre recherché est égal au nombre de chemins qui vont de (1,1) à (x,y) moins le nombre de chemins qui vont de (1,1) à (x,y) en passant par un point d'ordonnée nulle. Tu veux montrer que ce dernier nombre est égal au nombre de chemins qui vont de (1,-1) à (x,y), essaye d'établir une bijection.

Pour la question 2, comme dit, je comprends pas ce qui est demandé.

par **LeJeu** » 28 Oct 2011, 19:16

Pile ou face le retour!

Si les profs se mettent à massacrer les exos ... ci dessous l'original

http://1bio2maths.fr/Devoir/DM2.pdf

par **mehdi-128** » 28 Oct 2011, 19:31

LeJeu a écrit:Pile ou face le retour!

Si les profs se mettent à massacrer les exos ... ci dessous l'original

http://1bio2maths.fr/Devoir/DM2.pdf

Oui c'est ça.

Voilà, je bloque à partir de la question 3) a)

Le reste j'ai tout fait.

Mais je voulais résumer le tout en quelques lignes.

par **LeJeu** » 28 Oct 2011, 19:36

Si les étudiants se mettent à massacrer les énoncés....

Ca peut pas coller !

par **Skullkid** » 28 Oct 2011, 20:29

En effet tu as pas mal massacré l'énoncé en voulant le simplifier...

Commence par la question 3a, et essaye comme je te l'ai conseillé d'établir une bijection entre les chemins de (1,1) vers (x,y) qui touchent l'axe des abscisses et les chemins de (1,-1) vers (x,y).

par **mehdi-128** » 28 Oct 2011, 20:49

Skullkid a écrit:En effet tu as pas mal massacré l'énoncé en voulant le simplifier...

Commence par la question 3a, et essaye comme je te l'ai conseillé d'établir une bijection entre les chemins de (1,1) vers (x,y) qui touchent l'axe des abscisses et les chemins de (1,-1) vers (x,y).

Je comprends pas trop où vous voulez en venir avec la bijection.

Sinon, j'ai fait ça :

Sinon j'ai calculé le nombre de chemins joignant (1,1) à (x,y) :

Le nombre de chemins joignant (1,-1) à (x,y) :

Si je fais la différence entre le nombre de chemins joignant (1,1) à (x,y) et (1,-1) à (x,y) j'obtiens :

d'après la relation de Pascal

Mais je retrouve pas le résultat de l'énoncé. Il me manque le

par **Skullkid** » 28 Oct 2011, 21:21

Pour la 3a, je t'ai expliqué que le nombre de chemins que tu cherches c'est le nombre de chemins (1,1)->(x,y) moins le nombre de chemins (1,1)->(x,y) qui touchent l'axe des abscisses. Donc si tu arrives à montrer que le nombre de chemins (1,1)->(x,y) qui touchent l'axe des abscisses est égal au nombre de chemins (1,-1)->(x,y) tu as gagné.

Pour montrer cette égalité, je te propose d'établir une bijection, autrement dit de construire, partant d'un chemin (1,1)->(x,y) qui touche l'axe des abscisses, un nouveau chemin "qui lui ressemble" mais qui est un chemin (1,-1)->(x,y).

Pour la 3b, peux-tu me rappeler ce que dit la formule du triangle de Pascal ?

par **mehdi-128** » 28 Oct 2011, 22:41

"Je te propose d'établir une bijection, autrement dit de construire, partant d'un chemin (1,1)->(x,y) qui touche l'axe des abscisses, un nouveau chemin "qui lui ressemble" mais qui est un chemin (1,-1)->(x,y)."

Ca fait 30 min que je réfléchis, je vois pas du tout comment faire :mur:

par **Skullkid** » 28 Oct 2011, 22:47

As-tu fait un dessin ?

Tu pars d'un chemin (1,1)->(x,y) qui touche l'axe des abscisses et tu veux lui associer un chemin (1,-1)->(x,y). Donc, la transformation que tu cherches, elle transforme le point (1,1) en le point (1,-1).

par **LeJeu** » 28 Oct 2011, 22:49

30 mn temps local (temps mehdi-128)

1h20 temps universel...
Je me moque ...

par **mehdi-128** » 28 Oct 2011, 23:06

Skullkid a écrit:As-tu fait un dessin ?

Tu pars d'un chemin (1,1)->(x,y) qui touche l'axe des abscisses et tu veux lui associer un chemin (1,-1)->(x,y). Donc, la transformation que tu cherches, elle transforme le point (1,1) en le point (1,-1).

Oui j'ai fait un dessin.

C'est une réflexion par rapport à l'axe des abscisses ?

Mais un truc m'échappe, si on fait une réflexion on tombe sur -y et pas y !

par **Skullkid** » 28 Oct 2011, 23:23

Oui, si tu fais la réflexion du chemin par rapport à l'axe des abscisses, l'arrivée du nouveau chemin ne sera pas (x,y), donc il faut faire un peu plus compliqué que ça, mais tu es sur la bonne voie. Il y a une hypothèse que tu n'as pas encore utilisée.

par **mehdi-128** » 28 Oct 2011, 23:32

Skullkid a écrit:Oui, si tu fais la réflexion du chemin par rapport à l'axe des abscisses, l'arrivée du nouveau chemin ne sera pas (x,y), donc il faut faire un peu plus compliqué que ça, mais tu es sur la bonne voie. Il y a une hypothèse que tu n'as pas encore utilisée.

Que y > 0 ?

par **Skullkid** » 28 Oct 2011, 23:38

Non, que les chemins que tu considères touchent l'axe des abscisses.

par **mehdi-128** » 28 Oct 2011, 23:44

Skullkid a écrit:Non, que les chemins que tu considères touchent l'axe des abscisses.

Je vois graphiquement que les chemins qui vont de (1,-1) à (x,y) touchent forcément l'axe des abscisses puisque y>0.

Mais ça m'avance pas plus.

J'ai vraiment mal à la tête :mur:

par **mehdi-128** » 29 Oct 2011, 00:15

Je passe cette question j'y arrive pas :cry:

Pour la question suivante, la formule de Pascal c'est bien :

par **Skullkid** » 29 Oct 2011, 00:39

Oui, c'est bien la formule de Pascal, et tu n'as pas pu l'utiliser pour calculer ce que tu as calculé à la fin de ton post de 21h49. "Développe" les coefficients binomiaux pour faire ton calcul.

par **mehdi-128** » 29 Oct 2011, 01:11

Skullkid a écrit:Oui, c'est bien la formule de Pascal, et tu n'as pas pu l'utiliser pour calculer ce que tu as calculé à la fin de ton post de 21h49. "Développe" les coefficients binomiaux pour faire ton calcul.

Je vois pas comment de simplification ...

par **mehdi-128** » 29 Oct 2011, 01:21

En fait j'ai trouvé, il faut factoriser et ça marche.

Mais pourriez-vous m'expliquer la question d'avant avec avec les chemins ?

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