Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

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Samoth
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Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

par Samoth » 01 Déc 2021, 10:30

Bonjour,

Je cherche à démontrer que le trèfle est -difféomorphe à .

Le but est donc de trouver un -difféomorphisme de dans , ou inversement, "X est difféomorphe à Y" étant une relation d'équivalence.

Je partirais plutôt sur une application dans , qui à tout élément , associerait un élément .

Soit donc . Il existe donc tel que
Je cherche à montrer la bijectivité de l'application .
Avant cela, comment définir ? ^^
On aurait par exemple, et on pourrait choisir une combinaison astucieuse des trois coordonnées dépendantes de t pour obtenir ?

Bref, pouvez-vous m'aiguiller sur ce genre d'exercices ?

Merci d'avance pour vos indications.



Doraki
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Re: Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

par Doraki » 01 Déc 2021, 13:07

Ton ensemble est littéralement défini comme étant l'image de l'intervalle [0 ; 2pi] par une certaine fonction.
Donc moi à ta place j'essaierais de trouver un lien entre [0 ; 2pi] et le cercle unité pour obtenir presque gratuitement une fonction qui va du cercle dans T(2,3).

Samoth
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Re: Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

par Samoth » 01 Déc 2021, 14:33

Merci Doraki !
Je manque d'automatismes...

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mathelot
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Re: Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

par mathelot » 01 Déc 2021, 21:57

Bonsoir,
en suivant Doraki, il faudrait déterminer si le paramètrage du trèfle est injectif. Pour cela, déterminer ses points doubles, s'il y en a


https://mathcurve.com/courbes3d/noeuds/ ... efle.shtml

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Re: Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

par mathelot » 03 Déc 2021, 00:48

Autre voie:

Posons


On obtient:




on a donc une application de ) vers donnée par


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Re: Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

par tournesol » 03 Déc 2021, 02:04

Ton calcul est magnifique mais a t on une bijection de R3 vers R2 ?

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Re: Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

par mathelot » 03 Déc 2021, 02:49

ou, tout au moins, une bijection de sur

Doraki
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Re: Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

par Doraki » 03 Déc 2021, 13:14

ce n'est pas une bijection
(3,0,0), (-3/2,3sqrt(3)/2,0), et (-3/2,-3sqrt(3)/2,0)
sont tous envoyés sur le même point

(A²+B²-5)/4 = 1,
C/2 = 0

(j'ai choisi t=0, t=2pi/3 et t=4pi/3 pour fabriquer ces trois points donc ce n'est pas surprenant)

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mathelot
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Re: Noeud T(2,3) difféomorphisme à S^1

par mathelot » 04 Déc 2021, 13:55

mathelot a écrit:Bonsoir,
il faut déterminer si le paramètrage du trèfle est injectif. Pour cela, déterminer ses points doubles, s'il y en a




Après 3 pages de calculs de recherche de points doubles (que je ne reproduirai pas içi), je trouve que le paramètrage est injectif sauf pour le point double donné par les valeurs du paramètre t: et

on a donc:

pour t et t' et

implique

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