[Proba] Modélisation des élections US

[zouzou_42]

Bonjour à tous, je me suis inscrit dans ce forum de mathématiques en espérant trouver une réponse, si possible numérique, au problème suivant :

51 joueurs lancent chacun 26 fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
Quelle est la probabilité d'avoir 2 séries de lancers identiques ?

Quel est le lien avec les élections US me direz-vous ?

Tout est parti de cette affirmation lue sur le figaro.fr :
"la quasi-infaillibilité du Missouri pour désigner le prochain président des États-Unis : depuis 1904, cet État de 5,8 millions d'habitants grand comme un tiers de la France a toujours voté pour le vainqueur de la présidentielle, avec une seule exception en 1956"

Cette "quasi-infaillibilité" ne peut-elle pas simplement être le fruit du hasard ?

Bonne question à laquelle pour répondre il suffit de calculer la probabilité associée...
Problème : je suis complètement nul en proba ! D'où mon appel à l'aide.

Dans le cas de la proba du Missouri, j'ai choisi de simplifier les élections aux States comme suit :

- 1904 - 2008 = 104 ans = 26 x 4 ans = 27 élections dont l'exception de 1956 = 26 élections pertinentes

- 50 états votant depuis 1904 (même si 5 états n'existait pas encore à cette époque) + le résultat national = 51 résultats en tout

- 2 candidats à l'élection dans chaque état selon la règle du "winner takes all" = 1 chance sur 2 de gagner

Grosse hypothèse simplificatrice : on considère le résultat national indépendant de celui de chaque état !

On obtient alors l'expérience indiquée en gras au début de ce post.

Merci de vos contributions et à vos calculs !!!

[boumba daboum]

Bonjour,

Je ne suis pas certain que la question posée corresponde au problème...

Il y a 2 puissance 26 tirages ordonnés possibles, nombre que je noterai N dans la suite, et qui vaut 67.108.864.

La probabilité que 51 tirages ordonnés soient différents entre eux est :

Pdif = (N/N)((N-1)/N)((N-2)/N)...((N-50)/N)

En notant e la valeur epsilonesque 1/N :

Pdif = 1(1-e)(1-2e)...(1-50e)

Au vu de la faible valeur de e, Pdif est peu différent de :

1-(e+2e+...+50e) = 1 - 50*51e/2

La probabilité qu'il y ait au moins deux tirages identiques est alors :

Pid = 1 - Pdif +-= 50*51e/2 soit environ 1 chance sur 52000

Sauf erreur(s)...

[le_cheveulu]

Oui ton modèle n'est pas correct. La question que tu poses est quelle est la probabilité de voter exactement comme une série de 26 votes donnés.

En suivant le modèle que tu propose c'est à dire autant de chance de se planter que de réussir, la probabilité est donc de 1 divisé par tous les séries de votes possible. Or il y a séries possibles donc la proba est de



soit une proba de 15 pour 1 milliard (sauf erreur de frappe...).

Maintenant je pense que l'auteur du Figaro fait référence à une modélisation statistique basée sur les observation pour l'extrapoler aux résultats futurs.

En tout cas dans ce genre de situation il faut toujours se méfier des chiffres qui peuvent influencer l'opinion dans le sens de l'auteur.

http://www.mathsup.ouvaton.org