Matrice et récurrence

[log86]

Bonjour j'ai un problème dans un exercice, pourriez vous m'aider s'il vous plait
On me donne la matrice



et je dois montrer que s'écrit sous la forme


donc çà j'ai réussi par récurrence
mais ensuite on me demande d'exprimer et en fonction de n
alors j'ai trouvé que =
mais pour je fais des calculs, je m'embrouille un peu, mais je ne trouve rien de récurrent..
auriez vous une idée s'il vous plait? merci

[hamdo]

Ecrire aussi en fonction de et

[neuneu]

Bonjour comme tu sais que bn+1=an , comme dis hamdo exprime an+1 en fonction de an et bn; tu dois avoir trouvé une relation en faisant ta récurrence
tu dois surement te retrouver avec une équation de la forme
an+1 = x*an + y*bn ( toi tu dois avoir des valeurs à la place de x et y mais j'ai pas fait les calculs...)
mais bn=an-1
donc an+1=x*an+y*an-1 ou si tu préfères an+2=x*an+1+y*an
c'est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 que je pense que tu sais résoudre

[Lierre Aeripz]

En fait, il n'y a pas besoin de récurrence.

On pose


On a alors M = A - 2I.
. Donc.

Or I et A commutent, donc .
Ce qui donne
On calcule .
Donc .

Bon... J'admets que ce n'est pas tellement plus simple qu'une récurrence.

[log86]

Bonjour désolé je n'ai pas pu revenir avant
merci à tous
j'ai compris la méthode de Lierre Aeripz et de neuneu merci
bonne journée